Analisis de la ecuacion de segundo grado

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ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
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Las secciones cónicas mencionadas hasta ahora, se refieren a curvas cuyas ecuaciones son casos particulares dela ecuación:
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (1)
Llamada: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO.
Asi, por ejemplo, la ecuación de la circunferencia (sección 5) (x – h)2 + (y – k)2 = r2, seobtiene de la ecuación (1) haciendo A = B = 1; D = -2h; E = -2k y F = h2 + k2 – r2.
Igualmente, la parábola (sección 6.1.) de ecuación: (x – h)2 = 4p (y – k), se obtiene de la ecuación (1) haciendo:A = 1, B = 0, D = -2h,E = -4p y F = h2 + 4pk.
Incluso, la linea recta aparece como un caso especial de la ecuación (1) haciendo
A = B = 0.
Los términos Ax2y By2 de la ecuación (1) son desegundo grado o términos cuadráticos.La naturaleza de la curva determinada por la ecuación (1), cuando contiene al menos uno de estos términos, está expresada en el siguiente teorema.TEOREMA (Análisis de la Ecuación de Segundo Grado).
La ecuación:
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (2)

Donde A, B, D, E y F son constantes reales, A y B no simultáneamente nulos, representa:
i.Una circunferencia. Si A = B (diferentes de 0). (En casos especiales puede reducirse a un punto, o incluso carecer de puntos reales).
ii. Una parábola. Si A . B = 0. (Recordar que si A . B =0, implica que A = 0 ó B = 0). Esto significa que la ecuación (2) es de segundo grado respecto a una de las variables y lineal con respecto a la otra.
iii. Una elipse. Si A . B > 0. (Recordarque si A . B > 0, entonces A y B tienen el mismo signo). En casos especiales, el lugar se reduce a un solo punto, o incluso, el lugar carece en absoluto de puntos reales.
iv. Una hipérbola. SiA . B < 0. (Esto implica que A y B tienen signos opuestos). En casos especiales, el lugar puede reducirse a un par de rectas secantes, como sucede por ejemplo con la ecuación
x2 – y2 = 0.
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