analisis de regresion no lineal

Capítulo IX

Análisis de Regresión no lineal
En algunas situaciones es evidente que un modelo lineal en todas las
variables independientes es inadecuado. Por ejemplo, un modelo de
regresión que predice Y, la puntuación de las preferencias en una
prueba de sabor de una bebida de lima, como función lineal de X1
(concentración de lima) y X2 (dulzura) es muy dudosa. En otros casos,
los diagramas dedispersión de los datos revelan la ausencia de
linealidad. Particularmente, en la regresión lineal, una gráfica ordinaria
de Y contra X es adecuada.
En la regresión

múltiple, el efecto de las variables entre sí puede

oscurecer la ausencia de linealidad. Por esta razón, una estrategia
estándar es ajustar un modelo de primer orden y después representar
gráficamente

los

residuos

de

este

modelocon

cada

variable

independiente. Si un modelo más apropiado contiene, por ejemplo, un
término en segundo grado X 12 , entonces la gráfica de los residuos
(   Yi  Yˆ ) contra X1 muestra un patrón no lineal. Como el uso de un
modelo de primer orden elimina el efecto lineal de las otras variables
independientes, las no lineales a menudo se muestran con mayor
claridad en estos diagramasresiduales.
Las interacciones entre las variables son más difíciles de descubrir en
los diagramas de dispersión. Si X1 y X2 interactúan al determinar Y,
hay tres variables involucradas; desafortunadamente, los diagramas
tridimensionales son más difíciles de trazar e interpretar. Quizá el
sentido común sea la mejor manera de determinar si hay interacciones
presentes.

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Para el caso especial en queuna de las variables independientes es
una variable cualitativa representada por una o más variables ficticias
(dummy), la interacción se puede descubrir trazando gráficas de los
residuos (tomados de un modelo de primer orden) contra otras
variables independientes. Se deberían trazar gráficas por separado para
las observaciones en cada categoría de la variable cualitativa. El
modelo de primer ordensin interacciones implica que estos diagramas
deben ser paralelos. Si los diagramas de los residuos por separado no
son más o menos paralelos, se deberían considerar la posible presencia
de algún tipo de interacción.
La representación gráfica de estos residuales con respecto al valor
estimado de Y, pueden producir los siguientes patrones:

La idea de estos gráficos es averiguar si el valor medioestimado de Y
está relacionado sistemáticamente con el residual al cuadrado.
En (a) se ve que no hay un patrón sistemático entre las dos variables,
lo cual sugiere que posiblemente no hay heteroscedasticidad en los
datos. Sin embargo las gráficas de (b) a (e) muestran patrones

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definidos. Por ejemplo, la figura (c) sugiere una relación lineal,
mientras que (d) y (e) indican una relacióncuadrática. Utilizando estas
gráficas, es posible obtener curvas de mejor ajuste u orientarnos
acerca del tipo de transfomación que debe aplicarse a los datos a fin de
mejorar el ajuste. Pueden también hacerse representaciones de los
residuales versus el valor de X.
Los modelos de regresión no lineal son muy variados. Algunos de estos
modelos se dan a continuación:

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(1)

(2)

(3)

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En lacolumna (1) aparecen de arriba abajo el modelo lineal, el
semilogarítmico inverso en Y, el modelo

inverso logarítmico en X,

doble logarítmico. En la columna (2) aparecen el modelo cuadrático, el
modelo cuadrático inverso logarítmico en Y, el modelo recíproco, el
modelo de parábola logarítmica y en la tercera columna aparecen
modelos polinomiales.

Existen una gama muy amplia de modelos. Pero sepueden clasificar
en dos grupos los intrínsecamente lineales, es decir, se pueden
transformar a la forma lineal y los no lineales propiamente dichos que no
se pueden transformar a la forma lineal. Los métodos de estimación
cambian en ambos casos en los intrínsecamente lineales puede aplicarse
la transformación y luego aplicar el método de los mínimos cuadrado. En
los no lineales propiamente dichos...