Analisis funcional

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ANÁLISIS FUNCIONAL

El Análisis Funcional es una asignatura de síntesis y de abstracción, con gran cantidad de aplicaciones dentro del Análisis Matemático, en otras ramas de las Matemáticas e incluso en otras ciencias. Tiene una gran belleza intrínseca, aplicaciones variadas, y es el origen de importantes teorías matemáticas.

El origen del Análisis Funcional es múltiple. Hay quien lo sitúaen el problema de la cuerda y membrana vibrantes y los problemas de contorno de las ecuaciones diferenciales. Cercana se encuentra la Física newtoniana con sus numerosos problemas, a menudo inconexos en su formulación y que dieron origen, entre otras, a las teorías del cálculo de variaciones y de las ecuaciones integrales. Volterra al estudiar la variación del área encerrada por una curva cuando lacurva varía, trabaja con aplicaciones que tienen por dominio de definición un conjunto de funciones. Hadamard les da el nombre de “funcionales” por lo que Levy propone el nombre de la teoría que la estudia como “Análisis Funcional”. Literalmente el término “Análisis Funcional” hace referencia a la idea de analizar espacios de funciones a través de funcionales actuando en estos espacios. Eligiendohábilmente el espacio de funciones y los funcionales sobre él, se podrán resolver ecuaciones funcionales. En las primeras décadas del siglo XX, esta técnica fue empleada satisfactoriamente en diversas aéreas como ecuaciones integrales, superficies minimales, ecuaciones en derivadas parciales, análisis armónico y problema de los momentos.

Durante los años veinte la teoría espectral deoperadores tuvo sorprendentes aplicaciones a problemas unicamente planteados en espacios de Hilbert. La aparición en 1932 del libro de John von Neumann “ Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik ” y de “ Linear Transformations in Hilbert Spaces and Applications in Analysis ” de Marshall Stone mostraron la aparición de la teoría de operadores (en espacios de Hilbert) como una parte propia peroíntimamente relacionado con lo que se conoce ahora por Análisis Funcional Lineal.

Por aquellos años el Análisis Funcional Lineal experimentó su primer gran desarrollo. Muchas de las ideas empleadas cristalizaron en principios generales que se formularon y demostraron. Varias técnicas evolucionaron para aplicarlas a problemas lineales más generales que los planteados en espacios de Hilbert. Tresprincipios básicos fueron pronto reconocidos.

El teorema de extensión de Hahn-Banach. Un funcional lineal y continuo en un subespacio vectorial de un espacio normado admite una extensión continua y lineal a todo espacio. El teorema de Banach-Steinhaus. Toda familia de operadores lineales y continuos entre espacios de Banach que esté puntualmente acotada en la bola unidad está uniformemente acotada.El teorema de la aplicación abierta. Un operador lineal, continuo y sobreyectivo entre dos espacios de Banach es abierto. En 1932 la traducción francesa “Op´erations Lin´eaires” del libro de Stefan Banach apareció. En ´el, estos tres teoremas fueron presentados como los pilares fundamentales del Análisis Funcional. Después de formular cada principio en su forma más general, Banach proporcionaba unagran variedad de aplicaciones de cada principio. Había asegurado el papel central de estos resultados en el estudio de problemas lineales.

En los años treinta y principios de los cuarenta las fronteras del Análisis Funcional fueron continuamente extendidas (con el resultado lógico de cierta perdida en la definición del Análisis Funcional). Cada resultado probado era obtenido mediante unarápida incursión en un territorio inexplorado. Las investigaciones de Gelfand en la estructura de ´algebras de Banach conmutativas reunificaron la teoría general del Análisis Funcional Lineal con la teoría de operadores para dar lugar, entre otras cosas, a una demostraci´on sorprendente del teorema espectral para operadores acotados normales. La teoría de Gelfand también fue usada para estudiar los...
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