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1.

POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS

En este cap´ ıtulo vamos a tratar de exponer distintas t´cnicas para hallar las potencias naturales de e matrices cuadradas. Esta cuesti´n es de gran importancia y tiene muchas aplicaciones pr´cticas. o a Como vamos a poder observar el c´lculo de potencias de matrices cuadradas lleva consigo un n´mero a u muy elevado de operaciones. Es convenienteencontrar estrategias adecuadas que nos permitan calcular de modo eficiente las potencias naturales de matrices cuadradas. Empezamos con este primer ejemplo en el que utilizaremos el m´todo de inducci´n. e o

1.1.

El m´todo de inducci´n e o

Sea la matriz:

 1 0 1 A=0 1 0 1 0 1 ∀ n ∈ N.



Calcular An
Soluci´n.– o

En cualquier problema de este tipo es conveniente empezar calculando lassucesivas potencias de la matriz cuadrada A. En este caso vamos a observar que estas potencias parecen obedecer a un cierto patr´n, lo que nos permite la posibilidad de lanzar una hip´tesis sobre el valor de An que o o luego habr´ que demostrar por inducci´n. a o ¿En que consiste el m´todo de inducci´n? e o El m´todo de demostraci´n conocido como inducci´n simple (o m´todo de inducci´n, sin e o oe o m´s) se suele utilizar para demostrar que una cierta proposici´n P (n), que se refiere a a o los n´meros naturales n, es cierta para cada n. Este m´todo procede as´ u e ı: 1.– Demuestra que P (1) es cierta. 2.– Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. As´ queda claro que P (n) es cierta para cualquier n ∈ N. ı Se puede entender este proceso de demostraci´n pensando enuna fila de fichas de doo min´ puestas de pie de tal modo que si se cae una se cae la siguiente de la fila. Si te o aseguras de este hecho y tiras la primera, est´ claro que se caer´n todas. a a En este m´todo de demostraci´n la fase 2.– corresponde a asegurarse de que si se cae e o una ficha se cae la siguiente, y la fase 1.– corresponde a cerciorarse de que la primera ficha se cae. Como ya hemosmencionado, empezamos calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A:

1

A=

1 0 1

0 1 0

1 0 1

;

A2 =

2 0 2

0 1 0

2 0 2

;

A3 =

4 0 4

0 1 0

4 0 4

;

A4 =

8 0 8

0 1 0

8 0 8

Estas potencias de la matriz A las podemos escribir de otro modo: A=
1 0 1 0 1 0 1 0 1

; A =

2

21 0 21

0 1 0

21 0 21

; A =

3

22 0 22

01 0

22 0 22

; A =

4

23 0 23

0 1 0

23 0 23

Esto nos lleva a proponer como candidata la  n−1 2 An =  0 2n−1

expresi´n: o  0 2n−1 1 0  n−1 0 2

∀n ∈ N

Todav´ no hemos demostrado nada. Tenemos que comprobar por el m´todo de inducci´n que esta ıa e o f´rmula es cierta: o 1. Comprobemos que es cierta para n = 2, n = 3, por ejemplo. ´ Esto es algo que ya lo hemos hechopreviamente y no es necesario repetirlo. 2. Supongamos que la f´rmula es cierta para un h y o h + 1.  por hip´tesis de inducci´n o o 1 ↓ h+1 = A · Ah  0 A = 1  2h 0 2h =  0 1 0  = Ah+1 2h 0 2h  vamos a ver que tambi´n es cierta para e   h−1  2 0 2h−1 0 1 1 0 = 1 0 · 0 h−1 0 2h−1 0 1 2

c.q.d.

De este modo ha quedado demostrado por inducci´n que: o  n−1  2 0 2n−1 1 0  An =  0n−1 0 2n−1 2

∀n ∈ N

1.2.

Otro ejemplo con el m´todo de inducci´n e o

Sea la matriz:

 0 1 0 A=1 0 1 0 1 0
2



Calcular An
Soluci´n.– o

∀ n ∈ N.
el caso anterior, calculando las primeras potencias naturales  1 0 0 1  1 0  1 0 1 A2 =  0 2 0  1 0 1  2 0 2 A4 =  0 4 0  = 2 · A2 2 0 2  

Procedemos del mismo modo que en de la matriz A.  0  1 A= 0 

;

 0 20 A3 =  2 0 2  = 2 · A 0 2 0

;

Este caso es un poco m´s complicado que el anterior pues las potencias de la matriz A siguen dos a reglas diferentes dependiendo de que la potencia sea par o impar. Viendo las primeras potencias de A podemos suponer que:  A2n−1 = 2n−1 · A  ∀n ∈ N  A2n = 2n−1 · A2 Al igual que en el ejemplo anterior hay que demostrarlo por inducci´n. o 1. Ya hemos visto...
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