Analisis real

Notas de Análisis Real (en construcción- versión 0.3.4.3)

c 2007-2009 Pablo L. De Nápoli 5 de marzo de 2010

Índice general
1. Teoría de la medida en
RN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Intervalos en la recta: . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Intervalos en RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Conjuntos Elementales . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Medida de intervalos en RN . . . . . . . . . . . . 1.5. Medida de Conjuntos Elementales . . . . . . . . 1.6. Conjuntos σ -elementales . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Medida deconjuntos σ -elementales . . . . . . . . 1.8. Medida exterior de Lebesgue . . . . . . . . . . . 1.9. Conjuntos Medibles (Lebesgue) . . . . . . . . . . 1.10. Propiedades de la medida de Conjuntos Medibles 1.11. Caracterizaciones de los conjuntos medibles . . . 1.12. Propiedades de continuidad de la medida . . . . 1.13. Otras propiedades de la medida de Lebesgue . . 1.14. El conjunto de las diferencias deun medible . . . 1.15. Existencia de conjuntos no medibles . . . . . . .

3 4 5 8 10 15 16 17 19 25 27 30 31 32 33

3

2. Funciones Medibles e Integral en espacios abstractos
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. Álgebras y σ -álgebras de conjuntos . . Medidas sobre un álgebra de conjuntos Funciones Medibles . . . . . . . . . . . Funciones Simples . . . . . . . . . . . Teorema deEgorov . . . . . . . . . . . Convergencia en medida . . . . . . . . Integral de Funciones Simples . . . . . Integral de funciones no negativas . . . Funciones Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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35
35 36 38 41 42 45 48 48 52

3. Construcción de medidas
3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Medidas Exteriores . . . . . . . . . . Medidas exteriores métricas . . . . . Las medidas de Lebesgue-Stieltjes . El teorema de Extensión de Medidas

. . . .

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56

56 60 62 66

1

Notas de Análisis Real - c 2007-2009 Pablo L. De Nápoli

2

4. Espacios

Lp (E, µ)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Funciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4.2. Norma p ( 1 < p < ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Norma Innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Espacios Lp (o Lp (E, µ)) (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . . . 4.5. Exponente Conjugado de p. Desigualdad de Hölder . . . 4.6. Desigualdad de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Desigualdad integral de Minkowki . . . . . . . . . . . . 4.8. Completitudde Lp (Teorema de Riesz-Fischer) . . . . . 4.9. Inclusiones entre los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . 4.10. Clases de funciones densas en Lp . . . . . . . . . . . . . 4.11. El espacio L2 - Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . 4.12. Teorema de la Perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. Funcionales Lineales Continuas en un espacio de Hilbert

71

71 71 72 74 76 78 80 81 8384 87 91 93

5. Diferenciacion (en
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

El Lema Simple de Vitali . . . . . . . . . . . Función Maximal de Hardy - Littlewood . . . Teorema de diferenciación de Lebesgue . . . . Cubrimientos de Vitali: Lema de Vitali . . . . Derivada de funciones monótonas: . . . . . . Funcionnes de variación acotada (de variación Funciones absolutamente continuas . . . ....