Analisis Vectorial 1 2015 Umsa

´ 1, 1–9, 2015
U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ES
´
FACULTAD DE C IENCIAS P URAS Y N ATURALES - C ARRERA DE M ATEM ATICA

´
´ VECTORIAL
ANALISIS
VECTORIAL Y GEOMETRIA
PRACTICA 1
L IC. E VARISTO M AMANI C ARLO†
Universidad Mayor de San Andr´es
Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F´ısica

L A PAZ , 01

DE

F EBRERO

DEL

2015

RESUMEN
´
Se presenta una serie de ejercicios delanalisis
y la geometr´ıa vectorial a fin de evaluar la
capacidad que tiene el estudiante de aplicar los conocimientos te´oricos aprendidos en clases de
´
F´ısica Basica
I de nivel avanzado.
Keywords: Vectores—Escalares—Operaciones vectoriales—Operadores diferenciales

1. Un vector tiene un m´odulo A = 13 y sus dos
primeras componentes son A1 = 3, A2 = 4. ¿Cual
es la tercera componente?.
2. Laresultante de dos vectores de m´odulo constante, varia al hacer girar uno de ellos. El
m´ınimo m´odulo de la resultante es de 2 y el
´
maximo
de 14. Determinar el m´odulo de la re´
sultante, cuando los vectores forman un angulo
recto.
Resp. R = 10

5. Hallar los cosenos directores del vector (1, −1, 3)
6. Hallar las componentes del vector de m´odulo 2
´
situado en el plano (x, y) que forma un angulo
de300 con el eje x
7. Hallar el valor de A para que A = 2ˆi − 3ˆj + 5kˆ y
B = 3ˆi + Aˆj − 2kˆ sean perpendiculares.
Resp. A = −

4
3

u

3. En el siguiente sistema , determine el vector resultante:

8. Dados los vectores A = (3, −2, 0), B = (5, −1, −4),
C = (−4, 3, 1) y D = (0, 0, 1), hallar las componentes de los vectores E = A + B, G = C + D y
H =E−G
9. Probar que la identidad A· B = A· C no sededuce
B = C. Demostrar que el significado geom´etrico
de la primera igualdad es que A es perpendicular
a B − C o´ A es el vector nulo.

F IG. 1.— Conguraci´on de seis vectores coplanares

10. Hallar las componentes del versor perpendicular
a los vectores A = (0, 1, 5) y B = (−3, 0, 2)
Resp. C

´
4. Determine el coseno del angulo
que deben formar
dos vectores de igual m´odulo para que su resultantesea la mitad del valor de uno de ellos.
7
Resp. cos θ = −
8
† Email:

evaristomamanicarlo@gmail.com
† http://fisicaclases.blogspot.com

11. Dados los vectores A = (1, 0, −3) y B = (2, 5, −1)
hallar la proyecci´on de B sobre A. Cuanto vale la
proyecci´on de A sobre B?, calcular A × B soluci´on
´
anal´ıtica y grafica.
12. Probar que si dos vectores son paralelos su producto vectorial es nulo.
13.Dados los vectores A = (5, 0, 1), B = (3, −2, 0)
y C = (−4, 1, x) calcular su producto mixto y su
doble producto vectorial (use los vectores en el

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Lic. Evaristo Mamani Carlo
orden dado). Luego, hallar el valor de x con la
condici´on de que los tres vectores resulten paralelos a un mismo plano.

14. Descomponer un vector dado B en suma de otros
dos B1 , B2 tales que el primero sea paralelo a
otrovector dado A y el segundo perpendicular al
´
mismo, soluci´on grafica
y anal´ıtica.
15. Dado los vectores a = 3ˆi+2ˆj, b = 2ˆi+6ˆj encontrar
el vector c que se muestra en la figura 2, que es
perpendicular al vector a.

F IG. 4.— Conguraci´on de cinco vectores coplanares

20. Dados los vectores U , V ∈ R3 , demuestre la identidad:
1
U ◦ V = |U + V |2 − |U − V |2
4
21. Demostrar utilizandopropiedades vectoriales
que para todo vector a, b, c ∈ R3 , se cumple:
Si : a × b = b × c = c × a ⇒ a + b + c = 0
22. Considere la siguiente figura: Se pide:

F IG. 2.— Conguraci´on de tres vectores coplanares

16. Calcular el m´odulo de la resultante (en forma
´ la
vectorial) de los vectores mostrados segun
figura 3.

F IG. 5.— configuraci´on de un paralelogramo

(a) Coordenadas de D para que ABCD seaun
paralelogramo.
´
(b) Area
de este paralelogramo.
F IG. 3.— Conguraci´on de tres vectores ubicados en un cuadrado

17. Encontrar el vector de posici´on relativa R del
punto P (2, −2, 3) con respecto a P (−3, 1, 4).
´
¿Cuales son los angulos
directores de R?.
18. Dados los vectores a, b, c, d y e mostrados en la
figura 4, Determine el m´odulo del vector suma
S = a + b + c + d + e.
Resp. |S| = 3m...