ANALISIS VECTORIAL

Análisis vectorial

Hacen falta para describir los puntos del espacio.
• El más simple es el cartesiano:


– Al decir que un punto P tiene coordenadas x0, y0, z0 se quiere decir que está contenido en los planos:
x = x0 y = y0 z = z0
–Los vectores unitarios llevan la dirección y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente.



Los vectoresunitarios se ordenan de forma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero:

» Sistema dextrógiro o a derechas
– El vector de posición del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto:
– Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector:
– Si el desplazamiento es de magnitud muy pequeña (infinitesimal) se puede representar por:Sistema cartesiano cilíndrico y esférico



Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales
• En general, cualquier tríada de familias de superficies puede servir para definir un sistema de coordenadas:

– Estas ecuaciones permiten el paso de cartesianas al nuevo sistema.
– Despejando x, y y z se realiza el paso inverso.
• La tríada (u1,u2,u3) son las coordenadas del punto:
– Cualquiertríada debe definir un único punto.
– Cualquier punto debe estar definido por una única tríada.
– Se admiten excepciones.
• El vector de posición se puede obtener a partir de cartesianas:




• En general las coordenadas no son distancias:
– Un incremento infinitesimal de una coordenada y el desplazamiento correspondiente se relacionan a través de un factor de escala:

» La expresióncentral permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.
• Si las superficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal.

• Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:

• Propiedad interesante:
– Es evidente que:

es decir, todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de coordenadas ortogonal en otro también ortogonalse repiten en la transformación inversa en posición traspuesta.
– Se puede definir una matriz de rotación [R] que es ortogonal (su inversa es su traspuesta).

• También se puede calcular el diferencial de volumen:
– En cartesianas:

– En curvilíneas generalizadas ortogonales:
A pesar del aspecto del dibujo, al ser las dimensiones muy pequeñas, los lados son rectos y ortogonales.

Sistemade coordenadas Cilíndricas


• Las superficies coordenadas del sistema son:
– Cilindros de eje z y radio ρ.

– Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo φ con el semiplano xz que se toma como referencia.

– Planos z = cte.

• Las coordenadas del sistema serán ternas de valores ρ, φ, z.
• Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberánvariar en los márgenes:
0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ φ < 2π, -∞ < z < +∞.
• Existe una ambigüedad:
Los puntos del eje z quedan definidos por su z y ρ=0: φ puede ser cualquiera.
• Relaciones inversas:

Vectores unitarios y factores de escala
• De momento el vector de posición es:

• Trabajando un poco:

Vector de posición y diferenciales
• Vector de posición:

– La dependencia con ϕ está implícitadentro de :

• Diferencial de longitud (vector):

• Diferencial de longitud (escalar):

• Diferencial de volumen:

Sistema de coordenadas Esféricas

Las superficies coordenadas del sistema son:
– Esferas de radio r:


– Conos cuya generatriz forma un ángulo θ con el eje z positivo:


– Semiplanos limitados por el eje z que forman un ángulo ϕ con el eje z :


• Paradescribir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0≤θ≤π, 0 ≤ ϕ < 2π
• Existen dos ambigüedades:
– Los puntos del eje z quedan definidos por su r y θ=0 ó π, ϕ puede ser cualquiera.
– El origen queda definido por r=0, con independencia de los valores de θ y ϕ.
• Relaciones inversas:

Vectores unitarios y factores de escala
• De...