Analisis vectorial

3.- Análisis vectorial.
§3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar (63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulación de un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campo escalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Divergencia de un campo vectorial (74); §3.9.Teorema de Gauss (76); §3.10. Rotacional de un campo vectorial (77); §3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82)

§3.1. Campos escalares y vectoriales.- Consideremos una función tal que haga corresponder a cada punto del espacio el valor de una cierta magnitud física (función unívoca de punto); decimos, entonces, que ese espacio, como soporte de dicha magnitudfísica, es un campo; así, hablaremos de campos gravitatorios, eléctricos, de presiones, de temperaturas, ... De acuerdo con el carácter de la magnitud física que define al campo distinguiremos dos tipos de campos: Campo escalar: Toda función que haga corresFigura 3.1 ponder a cada punto del espacio el valor de una magnitud escalar define un campo escalar (Figura 3.1). Como ejemplos de campos escalarestenemos los campos de temperatura, de presión, de densidad ... Campo vectorial: Toda función que haga corresponder a cada punto del espacio el valor de una magnitud vectorial, esto es, un vector, define un campo vectorial (Figura 3.2). Como ejemplos de campos vectoriales tenemos el campo gravitatorio (g), el eléctrico (E), el magnético (B), el de velocidades en una corriente fluida (v) .... Engeneral, el valor de la magnitud física que Figura 3.2 define al campo (escalar o vectorial) será función

Manuel R. Ortega Girón

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Lec. 3.- Análisis vectorial.

tanto de las coordenadas del punto como del tiempo. Así, escribiremos para los campos escalares y vectoriales anteriormente definidos φ (r,t) o bien, en coordenadas cartesianas, φ (x,y,z,t) y A(x,y,z,t)
[3.2]

yA(r,t)

[3.1]

Si el campo sólo es función de la posición, o sea si es φ(x,y,z) ó A(x,y,z), diremos que se trata de un campo estacionario; esto es, independiente del tiempo. Si, por el contrario, sólo es función del tiempo, y, por tanto, toma el mismo valor en un instante dado en todos los puntos del espacio en el que está definido, diremos que se trata de un campo uniforme y escribiremos φ(t) óA(t). Los campos escalares y los vectoriales admiten una representación gráfica que, si la realizamos de un modo adecuado, nos permitirá obtener una idea inmediata de algunas de las características del campo. En el caso de un campo escalar, representado analíticamente por la magnitud escalar φ, función continua en todo el espacio (salvo, eventualmente en algunos puntos, líneas o superficiesaisladas), se define la superficie equiescalar como el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que la Figura 3.3 función φ toma un determinado valor. Obsérvese que si en lugar de considerar un espacio ordinario de 3 dimensiones considerásemos un espacio de sólo 2 dimensiones, entonces hablaríamos de líneas equiescalares o isolíneas. Es conveniente dibujar las superficies (o líneas) equiescalarescorrespondientes a valores del escalar φ regularmente espaciados, esto es, tales que φ2 φ 1 Δφ ; φ3 φ 2 Δφ ; ...
[3.3]

En la Figura 3.3 se representan las líneas equiescalares correspondientes a un cierto campo escalar bidimensional. En las regiones donde las líneas (o superficies) equiescalares están más apretadas la variación del escalar φ por unidad de desplazamiento (el gradiente) es másacusada. En algunos campos, como es el caso del representado en la Figura 3.3, pueden existir más de una línea o superficie equiescalares correspondientes a un mismo valor del escalar; pero las líneas o superficies equiescalares correspondientes a distintos valores de la magnitud escalar φ en ningún caso pueden cortarse, ya que φ es Figura 3.4 una función unívoca de punto (i.e., en cada punto...