Analisis

4.1 Idea intuitiva de límite
La idea de límite es central en el estudio del cálculo
y ha sido usada en muy diversas formas a través de los
siglos. Desde los Griegos varios siglos antes de Cristo, en
el método de exhausión, donde Arquímedes ocupa un lugar muy
importante, varios siglos más tarde Newton la usó en sus
famosos fluxiones con los cuales desarrolló el cálculo yCauchy que formalizó la idea con la definición que conocemos
en nuestros días.
Para ilustrar este concepto tan importante empezaremos por un ejemplo.
Consideremos la función f(x)=1-(x-2)2 y
analicemos que sucede con los valores de la imagen cuando x toma valores cerca de 2.
Si tabulamos con y = f(x) tenemos lo siguiente
x | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 |2.1 | 2.05 | 2.01

y | 0 | .75 | .99 | .9975 | .9999 | 0 | .75 | .99 | .9975 |
.9999
Cuál es el “último” valor que toma “y” cuando “x” se acerca
a 2 pero sin ser igual a 2. Si analizamos la función
restringida al dominio x, el conjunto de imágenes es un
conjunto acotado por el número 1, en efecto 1 es el supremo;
sin embargo 1 no está en dicho conjunto.Por la definición de supremo hay imágenes
arbitrariamente cerca de 1, lo que intuitivamente nos dice
que cuando x está cerca de 2, f(x) debe estar cerca de 1.
Aquí podemos tener dos valores, uno al que está
tendiendo la variable x y otro al que se acerca f(x), el
cual no siempre existe.
En general si f(x) está “arbitrariamente” cercade L
cuando x está “suficientemente” cerca de a diremos que el
límite de f(x) cuando x tiende al valor a es L, y se
representa por:
lim f(x) = L

x→a



Ejemplo 4.1 Encuentre lim x2+2

x→1Solución.



Si tabulamos con y = f(x) = x2+2 tenemos lo siguiente
x | 0 | 0.5 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 2 | 2.25 | 2.81 | 2.9095 | 2.9801 | 6 | 4.25 | 3.21 | 3.0201
Vemos intuitivamente que f(x) se acerca a 3 cuando xestá
cerca de 1, por lo que podemos suponer que el límite es 3.
Cómo se puede ver es difícil, en algunos casos, saber
cuál es el límite, ya que no existe el valor “más cercano”
al punto a. Qué tantos valores debemos analizar para estar
seguros de haber encontrado el límite?
Por ahora sólo haremos el análisis intuitivo y en la
siguientesección se presentará una definición formal de
límite que nos permitirá estar seguros de si un número es o
no-límite de una función.
Ejemplo 4.2 Encuentre el límite cuando x tiende a 1 de
las siguientes funciones
i) f(x) = (x2−1)/(x-1)
ii) f(x) = [x]
iii) f(x) = 1/(x-1)
Solución.
i) Tabulando tenemos
x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 |2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.01
Por lo que vemos que si x → 1 entonces los valores
de la función tienden a 2.
ii)
x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 1
De aquí, vemos que al tomar x valores cerca de 1, las
imágenes no se acercan a un valor fijo ya que son 0 ó 1 para
valoresde x suficientemente cerca de 1, por lo tanto el
límite no existe.
iii)
x | 0 | .5 | .9 | .95 | .99 | 2 | 1.5 | 1.1 | 1.01

y | −1 | −2 | −10 | −20 | −100 | 1 | 2 | 10 | 100
En este caso vemos que cuando x está cerca de 1, los valores
de las imágenes son arbitrariamente grandes, positivos o
negativos, por lo que tampoco existe el límite.
Ejercicios....