Angulo inscrito

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Ángulo inscrito
En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo comprendido entre dos cuerdas (o una secante y una tangente en el caso degenerado,llamado semi-inscrito), que se intersecan en lacircunferencia. Es decir, es el ángulo definido por dos cuerdas que comparten un extremo.

Propiedades

Mientras que un ángulocentral tiene una amplitud θ igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior, θ / 2 .

Entre otrosresultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas a, b se intersecan en elinterior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo [pic].

Demostración

Para entender la prueba, es útil dibujar un diagrama como losde las figuras.

[editar]Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Sean o el centro de un círculo, u y v dos puntos en la circunferencia, y w el otroextremo de la cuerda que pasa por u y o. Sea θ la amplitud del arco comprendido entre las secantes [pic] y [pic], y α su ángulo inscrito.

El ángulo central [pic],también tiene amplitud θ y es suplementario de [pic]. Por lo tanto θ + β = 180°.

Como el triángulo [pic] tiene dos lados con longitud igual al radio([pic] y [pic]), es isósceles, por lo que [pic]. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que 2α + β = 180, pero β = 180 − θ, así que 2α + 180 − θ =180, o lo que es equivalente, 2α = θ.

Por lo tanto, el ángulo inscrito α tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior θ, [pic].
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