Angulos Circunferencia

ANGULO INTERIOR EN UNA CIRCUNFERENCIA
Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia.
TEOREMA
La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma delas medidas de los arcos que son interceptados por las cuerdas que forman el ángulo.

Hipótesis: AB y CD son cuerdas. ∢α es un ángulo interior.
Tesis: ∢ α= AC+BD 2
1. α es un ánguloexterior en ∆ AED
∢ α= ∢θ+ ∢β

2. θ es un ángulo inscrito
∢ θ=AC2

3. β es un ángulo inscrito
∢ β=BD2

4. Sustitución de 2 y 3 en 1
∢ α= AC2+BD2= AC+BD2

ANGULOEXTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella, el ángulo formado se llama ángulo exterior.
TEOREMA
La medida de un ánguloexterior de una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que intercepta.

Hipótesis: P es un pinto exterior a la circunferencia. ∢α es un ángulo exterior.
Tesis: ∢α= AC-DB21. Construcción: se traza AD

2. Por ser θ un ángulo exterior en ∆
∢θ=∢α+ ∢β

3. Por ser θ un ángulo inscrito en la circunferencia
∢θ= AC2

4. Por ser β un ánguloinscrito en la circunferencia
∢β= DB2
5. De 1. Transposición de términos
∢θ-∢β=∢α

6. Sustitución de 3 y 4 en 5.
AC2- BD2=∢α
Caso 2
La medida del ángulo formado por una secante yuna tangente que se cortan en el exterior de una circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

∢β= CA-AD2

Caso 3.
La medida delángulo formado por dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

∢ρ= ACB-BA2APLICACIONES
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR.