Angulos directores

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CÁLCULO VECTORIAL

ÁNGULOS DIRECTORES

Los ángulos directores de un vector no nulo son los tres ángulos que tienen la menor medida en radianes no negativa [pic] medidas desde los ejes positivosx, y, y z, respectivamente, a la representación de posición del vector.
La medida en radianes de cada ángulo director de un vector es mayor que o igual a 0 y menor que o igual a π.

[pic]

[pic]PROPIEDADES:

• Los cosenos directores son las componentes del vector unitario que definen la dirección de aquel vector.

[pic]

• [pic]

EJEMPLO 1:

Dado A = (3, 2, -6), encontrar lamagnitud y los cosenos directores de A

Solución:

[pic]

De las Ecuaciones, obtenemos:

[pic] [pic] [pic]

EJEMPLO 2:

Encuentre los cosenos directores y los ángulos directores delvector coordenado A = (3, 3, 4).

Solución:
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

y los ángulos directores del vector A son
[pic]

[pic]

[pic]

EJEMPLO 3:

Determinar los cosenos directores delvector (1, 2, −3).

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

EJERCICIOS

1. Dados los vectores [pic], hallar sus módulos, su suma y los ángulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vectorunitario en la dirección y sentido del vector suma.

SOLUCIÓN

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] ( [pic] ( [pic]

De aquí:

 [pic]=28°32'35" , [pic] =118°13'49"  y [pic]=86°7'31".

[pic]

[pic][pic]

2. El módulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los números 2, -2 y 1. Hallar la suma [pic] si el vector [pic]. Hallartambién un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.

SOLUCIÓN

Sea [pic] el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los números 2,-2 y 1, podremosescribir:

[pic]

cos[pic]=2K, cos ß=-2K,  cos[pic]= K …(1)

donde [pic]

Utilizando la fórmula [pic] resulta: 4K2+4K2+K2=1

De donde 9K2=1 y K=± 1/3.

De las relaciones...
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