Anillos

´ CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 2 Anillos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´ a

2008

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Cuaderno dedicado a Lukas, mi hijo.

Contenido
Pr´logo o iv

1. Anillos y subanillos 1 1.1. Definici´n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 o 1.2. Subanillos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Ideales 12 2.1. Definici´n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 o 2.2. Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.Anillo cociente y homomorfismos 3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Producto de anillos 4.1. Definici´n y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. Teorema chino de residuos . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 28 33 35 35 37 38

5. Ideales primos y maximales 40 5.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2. Comportamiento a trav´s de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . 43 e 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 47 6. Dominios de integridad 48 6.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.2. Dominios gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 iii

iv

CONTENIDO

7. Anillos de fracciones: caso conmutativo 57 7.1.Construcci´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 o 7.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8. Polinomios y series 8.1. El anillo de series . . . . 8.2. El anillo de polinomios . 8.3. Propiedades elementales 8.4. Teorema de Gauss . . . 8.5. Ejercicios . .. . . . . . Bibliograf´ ıa 66 66 68 70 75 80 82

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Pr´logo o
La colecci´nCuadernos de ´lgebra consta de 10 publicaciones sobre los princio a pales temas de esta rama de las matem´ticas y pretende servir de material para a preparar los ex´menes de admisi´n y de candidatura de los programas colombianos a o de doctorado en matem´ticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material a b´sico de los cursos de estructuras algebraicas y ´lgebra lineal de los programas de aa maestr´ los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas ıa; de los ex´menes de candidatura, a saber: anillos y m´dulos, categor´ ´lgebra hoa o ıas, a mol´gica, ´lgebra conmutativa y geometr´ algebraica. Cada cuaderno es fruto de las o a ıa clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ultimos 20 ´ a˜os, y est´n basados en las fuentesbibliogr´ficas consignadas en cada uno de ellos, n a a como tambi´n en el libro Anillos, M´dulos y Categor´ publicado por la Facultad e o ıas, de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´n est´ totalmente o a agotada (v´ase [11]). Un material similar al presentado en estas diez publicaciones e es el libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edici´n revisada ha sido publicada o a...