Antecedentes Del Calculo

Ecuación normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)
Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica deMúnich.)
Esta es la forma normal de la recta:
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Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje delas ordenadas.
Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.
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Extrayendo la raíz cuadrada de lasuma de los cuadrados de B X A. Como sigue:

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Con el número x podemos obtener a  y a  de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos aC entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en lamisma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.3
[Ecuación normal de la recta (Segunda forma)
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Tomando el valor positivo o negativo de la raíz segúncorresponda.

Fuente consultada: http://es.wikipedia.org/wiki/Recta#Ecuaci.C3.B3n_normal_de_la_recta_.28Primera_forma.3B_Ecuaci.C3.B3n_de_Hesse.29
Ecuación normal de la recta. Cosenos directoresFuente consultada http://www.geoan.com/recta/ecuacion_normal.html

Ecuación normal de la recta
Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:
 = (x - a1, y - a2)
El vector  esun vector unitario y perpendicular a r.
Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).
Por tanto lascomponentes del vector unitario y perpendicular serán

Como  y  son perpendiculares, su producto escalar es cero:

Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos: