Antiderivadas

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Facultad de Contabilidad y Finanzas Periodo 2008 - I

Análisis Matemático II

Lic. María del C. Cáceres Huamán

ANTIDERIVADAS

Definición: Diremos que F (x) es una antiderivada de f (x ) en el intervalo I, si: Ejemplo: , es una antiderivada de . Observe que: , es otra antiderivada de . , en pues:

.

, en

pues:

En general se tiene: es una antiderivada de Si cualquier constante.entonces

es también una antiderivada de

donde

, es

El conjunto de todas las antiderivadas de siguiente forma:

es llamado Integral indefinida de

y se denota de la

∫ f ( x) dx
es llamado integrando y indica la

En ésta notación, el símbolo es llamado signo integral, variable respecto de la cual se realiza la integración. Si es una antiderivada de , escribiremos:

∫ f (x) dx = F ( x) + C

Algunas Fórmulas de Integración:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

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Lic. María del C. Cáceres Huamán

Ejemplo

1
1

3 ∫ [ 3 x − 5 x + x + 4 ] dx =

3 ∫ 3x dx − ∫ 5 x dx + ∫ x 2 dx + ∫ 4 dx

=
=

3
3

∫ x dx
3

− 5
− 5

∫ x dx
x 1+1
1+1

+

∫x
+

1 2

dx + 4 ∫ dx
x +4x + C1 +1 2
1 +1 2

x 3 +1

3+1

=

3x 4 5x 2 2 x3 − + + 4x + C 4 2 3

Ejemplo 2

− 30 q + 200 dólares por unidad Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es 6 q cuando se han producido “q” unidades de un determinado artículo. El costo total de producción de las dos primeras unidades es $800 ¿Cuál es el costo total de producción de las cinco primeras unidades?
2

Por dato:CT ' (q ) = 6q 2 − 30q + 200 ;

CT (2) = 800 y

CT (5) = ??

Para calcular CT (q ) integramos CT ' (q ) , es decir

CT (q ) = ∫ 6q 2 − 30q + 200 dq

CT (q) = ∫ CT' (q) dq

[

]

CT (q ) = 6 ∫ q 2 dq − 30 ∫ q dq + 200 ∫ dq

CT (q ) = 2q 3 − 15q 2 + 200q + C Como
3 2

CT (2) = 800

2(2) − 15(2) + 200(2) + C = 800 C = 444
Luego

CT (q ) = 2q 3 − 15q 2 + 200q + 444
EntoncesCT (5) = 2(5) 3 − 15(5) 2 + 200(5) + 444

es decir

CT (5) = 1 319

Respuesta : El costo de producción de las cinco primeras unidades es de $ 1 319.

Integración por Sustitución

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Ejercicios

1. Halle las siguientes integrales: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

∫ (2 − x ) dx 1 ∫x dx ∫ 3 e dx 3 ∫ x − x + e dx ∫ ( 5 e − x x ) dx
3

⎛3 ⎞ 18) ∫ 4 ⎜ − 2 x ⎟ dx ⎝7 ⎠
7

3

20

2

5

3

2

x

5 ⎞ ⎟ dx ⎟ 2x ⎠ 1 7) ∫ ( x 2 − 3 x 3 )( − 5) dx x ⎡ x3 − 2 x ⎤ 8) ∫ ⎢ ⎥ dx x2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 6 ⎛ x − 3⎞ 9) ∫ ⎜ ⎜ x 7 ⎟ dx ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ∫ ⎜ 3x − ⎝ ⎛ 1
x 3 − (2 x − 1) 2 dx ∫ x3 2x − 3 11) ∫ ( 5 − ) dx x x 2 − 2( x + 1) 2 12) ∫ dx x3 ⎡ 4x − 1 1 ⎤ 13) ∫ ⎢ + − e 3 ⎥ dx ⎣ 8 x 3x ⎦
10)14)

∫ − 9 e dx 20) ∫ x e dx 21) ∫ 4 x e dx x 22) ∫ dx x−9 23) ∫ x x + 8 dx
19)
5 x +1
3 2 x 4 +3 4 5− 2 x 5

24) 25) 26) 27)

∫ ( x − 5)
8

x

8

dx

∫ (6 − 7u) du

∫ 1 − 3t
5 7

6t

2

dx x 2 + 4 dx

∫−2x 28) ∫ 3 x
29) 30) 31)

1 − x 6 dx
dx dx dx (30 x 2 − 5) dx

∫ ∫

4 − 8x

5

8 + 7x2 − 7x 4x − 2 6x 2 − 6x + 5
3

∫ (5 x − 7) dx 15) ∫ 12 (1 − 8 x )dx
67

9

∫ 7 x (7 − 8 x ) 32) ∫ 4 x − 2 x + 3
3 3

2 2

33)

∫ 17) ∫
16)

5 − 3 x dx
5

(2 + 5 x) 7 dx

5x 2 ∫ ( x 3 + 5) 3 dx ln x 34) ∫ dx x

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35)

ln( x + 1) 7 ∫ 7 x + 7 dx ⎛ 1 ⎞ 36) ∫ ⎜ ⎜ x ln x ⎟ dx ⎟ ⎝ ⎠ (ln x ) 2 ∫ x dx 38) ∫ ( x 3 + 4) 7 5 x 5 dx37)

39) 40)

∫ (2u

2

− 3)
dt

43

u 3 du

∫ 7 − 4t

5

2. Use integración por partes para hallar la integral dada:

∫ x ln x dx 5 2) ∫ x ln x dx 4 3) ∫ x ln x dx 4) ∫ ln x dx 5) ∫ x e dx 6) ∫ s e ds 7) ∫ w e dw 8) ∫ x e dx 9) ∫ x e dx 10) ∫ (1 − x) e dx 11) ∫ x ln 2 x dx 12) ∫ x e dx 13) ∫ (3 − 2 x) e dx 14) ∫ x e dx
1)
3 2
x

15)

∫x

3

e x dx
2 2

2...
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