Antologia maestra yebra

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arbey_aep@hotmail.com

1.1 Definición de diferencial

Definición:
Sea una función de x diferenciable, ahora definiremos el nuevo concepto de diferencial de modo que y tengan significados separados. Entonces:
, leído diferencial de x, es la diferencial de la variable independiente x no es otra cosa que un incremento arbitrario de x,esto es:

, leído diferencial de y, es la diferencial de la variable dependiente y en función de x y dx definida por:

Q

T
dy
P RΔx



x x+Δx

1.2 Incrementos y diferenciales, su interpretación geométrica.
La diferencial de una variable independiente es por definición, el incremento que experimenta; sin embargo, la diferencial de unavariable dependiente o función no es igual a su incremento.





R


x x+ΔxEn términos geométricos, sabemos que representa la pendiente de la tangente a la curva en el punto x. Por tanto, si P es un punto sobre la curva cuya abscisa es x y PT es la tangente en P, entonces es la pendiente de la línea tangente PT.
La pendiente es la razón de la elevación al recorrido. Consideremos un recorrido PR del valor de x de la abscisa a . Se observa que . En este caso latangente PT tiene elevación TR, de modo que:
Pendiente de la línea tangente PT

En otras palabras,. Así que dy es la longitud del segmento TR
, incremento de y, es la longitud del segmento QR. En general, el incremento de y, aun cuando , , donde y son los incrementos en x y en yen la gráfica de la función, mientras que dx y dy son los incrementos a lo largo de la recta tangente de esa gráfica.
Pordefinición:

La diferencia entre y dy es igual a la distancia QT entre el punto Q sobre la gráfica de y el punto T sobre la tangente en P. Si hacemos que se haga muy pequeño, de modo que Q se mueve a través de la curva hacia P, entonces la distancia QT tiende rápidamente a cero. Debido a esto, podemos usar dy como una aproximación de con tal de que sea lo suficientemente pequeño:

Enconsecuencia,

EVIDENCIA 1: INVESTIGAR
1.3 Los teoremas típicos de diferenciación

1.4 Cálculo de diferenciales.
EVIDENCIA 2: Calcula dy de las funciones siguientes:

y=2x3-5x2+8x-1
y=ax1-x2
y=a+xa-x
y=a+2x4
y=a+bxm
y=xa+bx-13
y=x+7x-1
y=xx2-a2
y=2ecx2-x
y=na-4+x2
y=sen32x
y=x4+lnx4
y=3tan4x
y=tanx-x
y= lnsenxy=arc tan5xc
y=arc sen3x-16
y=arc sec5x2
y=arc tan4x-1
EVIDENCIA 3: Determina dy y para las funciones siguientes:
, si y
, si y
, si y
, si y
, si y

1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
1. Utilizando calculo diferencial, hallar aproximadamente a) 3124 b) sin60°1´
a) Para y=x13 , dy=13x23dx
Tomando x=125=53, y dx=-1
Obtenemosdy=135323-1=-0.0133 aproximadamente 3124 =y+dy=5-0.0133=4.9867

b) Para y=sinx , dy=cosx dx
Tomando x=60° y dx=1´=0.0003 rad y=sin60=0.866
Obtenemos dy=cosxdx=0.50.0003=0.00015
apeoximadamente sin60°1´=y+dy= 0.866+0.00015=0.86618

2. Hallar aproximadamente la variación experimentada por el volumen de una pieza electrónica de forma cubica que por razones de diseño...
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