Análisis de muestras aleatorias

Introducción

En las distintas ciencias, frecuentemente se trabaja con muestras aleatorias que generalmente son modeladas por modelos conocidos. En el presente informe se analizaran muestras aleatorias generadas con el software R-Commander distribuidas con modelos conocidos (Uniforme continuo, Poisson y Normal), para luego comparar los promedios de 100 resultados con los valores teóricos queentregan los modelos. Además se analizara el comportamiento de sus valores empíricos y los histogramas de sus medias y varianzas a medida que el tamaño de la muestra crece, sin variar los parámetros usados para generar cada muestra.

Objetivos

* Analizar la variación de las medias y varianzas a medida que crece el tamaño de la muestra empleada para su cálculo
* Analizar el comportamientode los histogramas de frecuencias de medias y varianzas a medida que crece el tamaño de la muestra usada para su cálculo.

Procedimiento

* Simular a partir de una distribución Fx, una muestra de “n” observaciones: X1, X2,…, Xn, y calcular n y S2n-1, respectivamente.
* Repetir el procedimiento en 100 ocasiones con el fin de obtener las muestras: ((1), (2),…, (100)) y (S2(1),S2(2),…, S2(100)), donde (i) y S2(i) representan la media y la varianza muestral de la i-ésima muestra, respectivamente (i=1,…,100).
* Calcular la media de los vectores Medias=((1), (2),…, (100)) y Varianzas=(S2(1), S2(2),…, S2(100)), para compararlos con los valores teóricos que entregan los modelos.
* Realizar histogramas con los vectores mencionados anteriormente.

Parte I:
Supongaque X1, X2,…, Xn es una m.a.(n) proveniente de un modelo Uniforme de parámetros a y b. Es decir:
X1, X2,…, Xn ~ U(a,b)
Se escoge para trabajar en A, B, C y D, un valor de a=0 y b=1.
A) Realizar el procedimiento descrito al inicio con n=20.
Utilizando el software R-Commander como interfaz para el lenguaje R, se generó mediante un ciclo for, dos vectores de 100 valores, cada uno de estosvalores era el promedio o varianza según corresponda, de 20 números aleatorios distintos generados con distribución uniforme.
Al calcular empíricamente el promedio de los valores del vector de medias, se espera que se acerque bastante a lo teórico que en este caso sería E[x]=(b-a)/2, con a=0 y b=1 queda E[x]=0.5, y para las el caso de las varianzas: V[x]=(b-a)2/12, con a=0 y b=1 quedaV[x]=0.08333333, se espera que la esperanza del vector de las varianzas se asemeje al valor teórico de la varianza.
Valor (n=20) | Teórico | Empírico | Error Experi. |
E[Medias] | 0,5 | 0,485511 | 0,014489 |
E[Varianzas] | 0,08333333 | 0,08208083 | 0,001252503 |

Además con esos 2 vectores se generan los siguientes gráficos.

B) Realizar el procedimiento descrito al inicio con n=50.
Se repitentodos los procedimientos empleados en A), ahora con n=50 y se obtiene lo siguiente:
Valor (n=50) | Teórico | Empírico | Error Experi. |
E[Medias] | 0,5 | 0,5008342 | -0,0008342 |
E[Varianzas] | 0,08333333 | 0,0826286 | 0,000704733 |

C) Realizar el procedimiento descrito al inicio con n=100.
Se repiten todos los procedimientos empleados en A), ahora con n=50 y se obtiene lo siguiente:Valor (n=100) | Teórico | Empírico | Error Experi. |
E[Medias] | 0,5 | 0,49944 | 0,00056 |
E[Varianzas] | 0,08333333 | 0,08150985 | 0,001823483 |

D) Compare entre sí los resultados obtenidos en los incisos anteriores. Indique el porqué de las potenciales diferencias existentes entre los resultados.

n | Valor | Teórico | Empírico | Error Experi. |
20 | E[Medias] | 0,5 | 0,485511 |0,014489 |
50 | E[Medias] | 0,5 | 0,5008342 | -0,0008342 |
100 | E[Medias] | 0,5 | 0,49944 | 0,00056 |
20 | E[Varianzas] | 0,08333333 | 0,08208083 | 0,001252503 |
50 | E[Varianzas] | 0,08333333 | 0,0826286 | 0,000704733 |
100 | E[Varianzas] | 0,08333333 | 0,08150985 | 0,001823483 |

Podemos notar que en general, al aumentar “n” los valores experimentales de la media se acercan cada vez...