Análisis matemático II

Notas complementarias de Mate IV
Juan Manuel Truppia
14 de junio de 2011
Resumen
Este es un breve apunte preparado para servir de complemento a la te´rica de Econom´
o
ıa
Matem´tica II, dictada en la Universidad Torcuato Di Tella. Contiene conceptos b´sicos de
a
a
L´gica, Teor´ de Conjuntos y Algebra Lineal. Adem´s contiene algunos conceptos que nos
o
ıa
a
ser´n utiles de An´lisis yfinaliza con algunos conceptos sobre las condiciones de Kuhn Tucker
a ´
a
y de Euler Lagrange, elementos clave del programa

1

´
Indice
I

L´gica y Teor´ de Conjuntos
o
ıa

4

1. Teor´ de Conjuntos (incompleto)
ıa

4

2. L´gica
o
2.1. Conectores l´gicos . . . . . . . . . . .
o
2.2. Principio de inducci´n . . . . . . . . .
o
2.2.1. Principio de inducci´n corrido .
o2.2.2. Prinicipio de inducci´n global .
o

II

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4
4
6
7
7

Algebra lineal

8

3. Definiciones generales

8

4. Matrices

11

5. Autovalores, autovectores y diagonalizaci´n
o

13

III

19

Espacios M´tricos
e

6. De distancias y normas

19

7. De Bolas, Abiertos y Cerrados

21

IV

Un poco de an´lisis
a

24

8. Teorema de cambio de variable

24

9. Extremos y el Hessiano

24

V26

Condiciones de optimalidad vistas en clase

10.Teorema de Kuhn-Tucker
10.1. Conceptos generales . . . . . . . .
10.2. El Lagrangiano brinda candidatos
10.3. Condiciones de KT . . . . . . . . .
10.4. Existencia de la soluci´n . . . . . .
o
10.5. Unicidad de la soluci´n . . . . . .
o
10.6. Conversa del teorema . . . . . . .
10.7. Vuelta del teorema . . . . . . . . .
10.8.Restricciones de igualdad . . . . .

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2811.Aclaraciones sobre las condiciones de Euler Lagrange

3

28

Parte I

L´gica y Teor´ de Conjuntos
o
ıa
1.

Teor´ de Conjuntos (incompleto)
ıa
Muy coloquialmente, un conjunto es una ”colecci´n de cosas”
o

2.

L´gica
o

No vamos a dar aca una definici´n exacta de que es una proposici´n, sino que simplemente
o
o
diremos que es una aseveraci´n que puede tomar dosvalores, verdadera (V ) o falsa (F ).
o
Ejemplo 1 ”Llueve” es una proposici´n. ”¿Como estas?” no lo es (a menos que alguien se sienta
o
particularmente verdadero o falso hoy...)

2.1.

Conectores l´gicos
o

Tomemos dos proposiciones p y q. Tenemos los siguientes operadores l´gicos
o
1. ∼ p, que quiere decir ”no”, es la negaci´n de la proposici´n, a la que antecede. Por ejemplo,
o
o
sip es ”llueve”, entonces ∼ p es ”no llueve”. Su tabla de verdad es


p ∼p
V
F 
F
V
2. p ∨ q que quiere decir ”p o q”. Notar que
son verdaderas tambi´n
e

p
V

V

F
F

este ”´” es no exclusivo, es v´lido si ambas cosas
o
a

q p∨q
V
V 

F
V 

V
V 
F
F

3. p ∧ q que quiere decir p ”y” q


p
V

V

F
F

q
V
F
V
F


p∧q
V ...