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´ ´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Matem´ tica II Pauta del Certamen No 2 a Martes 18 de Noviembre 2008 Forma B

1.

a) En el instante t en que la rectacorta al plano se debe dar: (1 + 3t, 2t − 1, 3t + 3) ∈ π1 , ´ luego, 4(1 + 3t) + 5(2t−1) + 6(3t+ 3) = 17 ⇒ t = 0 , siendo el punto de interseccion: (1, −1, 3) b) Puesto que la recta x = 1 − 2t, y = 1 −0,5t, z = t + 1 est´ contenida en π3 , se tiene a 1 que (1, 1, 1) ∈ π3 y (−2, − 2 , 1) es un vector contenido en π2 , al ser π1 ⊥π2 , el normal 1 a π1 , es decir, (4, 5, 6), est´ contenido en π2 ,ahora como (4, 5, 6) y (−2, − 2 , 1) son a ´ l.i., un multiplo cualquiera del producto cruz de ellos nos da normal a π2 , es decir, i j k 1 −2 − 2 1 = (-8,16,-8) , luego, (1, −2, 1) es un normal a π2 ,por tanto, el plano 4 5 6 buscado es (x − 1) + 2(y − 1) + (z − 1) = 0, c) Para t = 2, el punto de la recta es: (7, 3, 9) ∈ π3 , al ser paralelos los planos π1 y π3 la ´ ecuacion del plano π3 , es deltipo 4(x − 7) + 5(y − 3) + 6(z − 9) = 0, ,reduciendo se obtiene: π3 : 4x + 5y + 6z = 97

2.

1

V =
0

πxdx = π
1√ 0

x2 2 1+

1 0

=

π 2
1√ 0

S = 2π



1 dx = π 4x

4x +1dx =

2 3

(x + 1)3

1 0

=

π √ ( 125 − 1) 6

3.

a) La curva r = 4 sin (ϑ), corresponde a una circunferencia centrada en (0, 2) y de radio 2, por otro√ lado r2 = 8 cos (2ϑ) √ lalemniscata de Bernoulli que corta al eje polar en es (r, ϑ) = (2 2, 0) y (r, ϑ) = (−2 2, π), como se muestra en la figura adjunta.

b) En el primer cuadrante las curvas se cortan para ϑ = tema formadopor las curvas, tenemos:

π 6

, pues, resolviendo el sis1 2

8 cos (2ϑ) = 16 sin2 ϑ ⇒ 1 = 4 sin2 ϑ ⇒ sin (ϑ) =

⇒ ϑ = π. 6

La lemniscata se anula para ϑ = π , usando simetr´a, se tiene: ı 4A=2· es decir, A=
0
π 6

1 2

π 6

0

1 16 sin (ϑ)dϑ + 2
2
π 4

π 4 π 6

8 cos (2ϑ)dϑ

8(1 − cos(2ϑ))dϑ +
π 6

8 cos (2ϑ)dϑ = 8(ϑ −

sin (2ϑ) ) 2

π 6

0

+8·

sin...
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