Aplicación de la derivada

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APLICACIÓN DE LA DERIVADA
1. Dada una hoja cuadriculada de lado a, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadradas iguales y doblando convenientemente la parterestante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible.
Solución:
El lado del Cuadrado cortado =X entonces el volumen delacaja es:
VX=Xa+2X2 , 0<X<a2
V'X=a+2X2-4X(a-2X)
V'X= a-2Xa-6X=0⇒X=a2 , X=a6V''X=-8A+24X⇒V''a6=-8a+4a=-4a<0
⇒ ∃ máximo en = a6
Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para obtener volumen máximo es X = a6

2. Un rectángulo a de tener un área de 64 pulgadascuadradas, hallar sus dimensiones, deforma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mínima.
Solución:
Datos del problema:
A=XY=64⇒Y=64X , d=Y2+X²4fx=4096X²+X²4=16384+X42X Entonces
fx=x=X4-163842X²16384+X4=0 ⇒X4-16384=0 ,de donde X=±842
Como Y =64X ⇒Y=4422Luego las dimensiones son 4422 y 82 pulgadas.

3. Si un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener como volumen, encuéntrese las dimensionesque requieren la mínima cantidad de material.
Solución:
Datos del problema: V=πr2h de donde h=vπr2
At= πr2+ 2πrh entonces At= 2πr2 + 2vr
At(r)= 2πr2+ 2vr
A't(r)= 4πr2- 2vr2=0 ⇒r=3V2π
A''t(r)= 4π+- 4vr3⇒A''t(3V2π)=12 π>0⇒existe minimo en r=3V2π , h=34Vπ

4. Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los ejes dela elipse.

Solución:
La Ecuación dela elipse es: Xa22+Yb22=1
De donde: y = b a a2-x2
Condición del problema: A=xy = bx a a2-x2 ⇒Ax = bx a a2-x2, derivando
dAdx= b a a2-x2-...
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