Aplicación de la física

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Aplicaciones a la física:

Movimiento Armónico Simple:
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte
rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo
diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismoejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del
alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante
de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal
elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb.
alarga elresorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.



Segunda Ley de Newton:


Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición
de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definidopor:
W = m . g





En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s² , p80 cm/s² o
32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g
− ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la
fuerza neta F correspondiente a este casodinámico está dada por la

segunda ley del movimiento de Newton,
F = m.a, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores
(movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = − k (s + x) + mg


= − kx + mg − ks = − kx
cero
Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre noAmortiguado:
Dividiendo la ultima ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
d²x/dt² + k/m x = 0
o bien d²x/dt² + _²x = 0
En donde _² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + _²x = 0 describe el movimiento armónico simple o

movimiento vibratorio no amortiguado.

Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación:
x(0) = _, dx/dt% = _%t = 0
Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si
_ > 0 y _ < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha
comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si _ < 0 y _ > 0, se trata de una masa en reposo que se
suelta desde un punto que está %_ %unidades arriba de laposición de equilibrio. Los demás casos son
análogos.
Solución y ecuación de movimiento:
Para resolver la ecuación d²x/dt² + _²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² − w² = 0
son los números complejo M = _i y Mi = − _i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos
_t + C2 sen _t.
El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación generalplanteada es T = 2_/_ y la
frecuencia es _ = 1/T = _/2_. Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t − 4 sen 3t el periodo es 2_/3 y la frecuencia
es 3/2_. El primer numero indica que hay 3 ciclos de la grafica de cada 2_ unidades; en otras palabras, la
masa realiza 3/2_ oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo
2_/_ es el intervalo de tiempo entre dosmáximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos
determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos _t + C2 sen _t mediante las condiciones iniciales
x(0) = _, dx/dt% = _
%t = 0
, Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento.
Ejemplo:
Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
d²x/dt² + 16 x = 0
x(0) = 10, dx/dt% = 0

%t = 0
solución:...
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