Aplicación de matrices y derivadas

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APLICACIÓN DE MATRICES Y DERIVADAS

UNIVERSIDAD POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
CONTADURÍA PÚBLICA
MATEMÁTICAS II
SEMESTRE II
C.L.A. SANTA MARTA
2009
PARTE 1

1) Trazar el bosquejo de la gráfica de la función f(x)= 3x4 – 4x3 -12x2 +17

Escribir un listado en donde aparezca resumida la siguiente información:

a. Intervalos de Crecimiento / Decrecimiento
b. Máximos y Mínimos (Absolutos oRelativos) según corresponda
c. Intervalos de concavidad

[pic]
Tabla de valores:
x |-2 |-1 |0 |2 |3 | |y |49 |12 |17 |-15 |44 | |

Para hallar intervalos de Crecimiento / Decrecimiento, Máximos y Mínimos e Intervalos de Concavidad hacemos el siguiente procedimiento:

1. Calculamos la derivada de f y la igualamos a cero. Esto nos proporcionará los valores críticos, es decir, losvalores del dominio de f en donde se encuentra un máximo o un mínimo relativo o absoluto de la función. Veamos:

f ’(x)= 12x3 – 12x2 – 24x

12x3 – 12x2 – 24x = 0
12x (x2 – x – 2) = 0

x= 0 ó x2 –x – 2 = 0

Para despejar x en x2 –x – 2 aplicamos la fórmula de la ecuación cuadrática:
x= [pic]
x= [pic] ► x= [pic]
x= [pic] ► x=[pic] ► x= 2 x= [pic] ► x=[pic] ► x= -1

2.Colocamos en la recta real los valores críticos y vemos que ésta queda dividida en cuatro intervalos: (-∞,-1), (-1,0), (0,2) y (2, ∞)

[pic]

3. Ahora, escogemos un punto de prueba en cada intervalo, para aplicar el criterio de la primera derivada y saber de esta manera cómo se comporta la gráfica de la función.

-En (-∞,-1) escogemos x=-2 y evaluamos este valor en la primera derivada:

f‘(-2) = 12(-2)3 – 12(-2)2 – 24(-2)
f ‘(-2) = -96 – 48 + 48 ► f ’ (-2)= -96
-96 < 0 Luego, en el intervalo (-∞,-1) la función es Decreciente.

-En (-1,0) escogemos x=-0,5 y lo evaluamos en la primera derivada:

f ‘(-0,5) = 12(-0,5)3 – 12(-0,5)2 – 24(-0,5)
f ‘(-0,5) = -1,5 – 3 + 12 ► f ‘(-0,5)= 7,5
7,5 > 0 Luego, en el intervalo (-1,0) la función es Creciente.

-En (0,2) escogemos x=1 ylo evaluamos en la primera derivada:

f ‘(1) = 12(1)3 – 12(1)2 – 24(1)
f ‘(1) = 12 – 12 – 24 ► f ‘(1)= -24
-24 < 0 Luego, en el intervalo (0,2) la función es Decreciente.

-En (2, ∞) escogemos x=3 y lo evaluamos en la primera derivada:

f ’(3) = 12(3)3 – 12(3)2 – 24(3)
f ’(3) = 324 – 108 – 72 ► f ’(3)= 144
144 > 0 Luego, en el intervalo (2, ∞) la función es Creciente.

4. Parasaber hasta dónde crece o decrece la gráfica de la función f, basta con evaluar cada valor crítico en la función y de esta manera, obtenemos los denominados puntos críticos Máximos y Mínimos (Absolutos o relativos). Veamos:

-Evaluamos en f el valor crítico x= -1

f(-1) = 3(-1)4 – 4(-1)3 – 12 (-1)2 + 17
f(-1) = 3 + 4 – 12 + 17 ► f(-1) = 12
Luego, obtenemos el punto crítico (-1,12) MínimoRelativo

-Evaluamos en f el valor crítico x = 0

f(0) = 3(0)4 – 4(0)3 – 12(0)2 + 17
f(0) = 0 – 0 – 0 + 17 ► f(0) = 17
Luego, obtenemos el punto crítico (0,17) Máximo Relativo

-Evaluamos en f el valor crítico x = 2

f(2) = 3(2)4 – 4(2)3 – 12(2)2 + 17
f(2) = 48 – 32 – 48 ► f(2) = -15
Luego, obtenemos el punto crítico (2,15) Mínimo Relativo

5. Para precisar un poco más eltrazado de la gráfica de f, podemos determinar el punto de corte de la gráfica con el eje y. Basta con hacer x=0 y evaluarlo en la función f. Veamos:

f(0) = 3(0)4 – 4(0)3 – 12(0)2 + 17
f(0) = 0 – 0 – 0 + 17 ► f(0) = 17
Luego, obtenemos el punto (0,17)

6. Para hallar los intervalos de concavidad de la función, necesitamos aplicar el criterio de la segunda derivada

f(x) = 3x4 – 4x3 -12x2+17
f ‘(x) = 12x3 – 12x2 – 24x
f ‘’(x) = 36x2 – 24x – 24

Igualamos a cero la segunda derivada y despejamos x aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática x= [pic] :

36x2 – 24x – 24 = 0
x = [pic]
x = [pic] ► x = [pic]
x = 1.215 x = -0.548

Colocando estos puntos en la recta real, quedaría dividida en tres intervalos:
(-∞, -0.548) , (-0.548, 1.215) y (1.215, ∞)

-Escogemos...
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