aplicacion de derivadas

APLICACIÓN DE DERIVADAS.
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
  
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
  
Sea f(x) unafunción y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b   con a 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha). 
|     | En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está pordebajo de la tangente. |
  |
|     | En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente. |

Teorema
Condición suficiente para la existencia de concavidad positiva

Si la derivada segunda de una función f(x) es positiva en el punto a, entonces tiene concavidad positiva en dicho punto.

H)f''(a)>0
T) f tiene concavidad positiva en x=a 

Demostración:
Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a.
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g''(x) = f''(x)
g''(a) = f''(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a
=> por def. de crecimiento puntual existe δ>0
/ para todo x1 perteneciente a (a - δ,a) g'(x) < g'(a)= 0 y para todo x2 perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0 
signo de g'(x):
  -   0   +
-------|-------
      a   
=> por Cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo en x=a.
=> por def. de mínimo relativo existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0.
f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) > 0
f(x) > f'(a)(x - a) + f(a) => por definición ftiene concavidad positiva en x=a. 

Teorema
Condición suficiente para la existencia de concavidad negativa

Si la derivada segunda de una función f(x) es negativa en el punto a, entonces tiene concavidad negativa en dicho punto.

H) f''(a) < 0
T) f tiene concavidad negativa en x=a 
La demostración es análoga a la anterior.

Teorema
Condición suficiente para la existencia de puntos deinflexión

H) La derivada segunda de f(x) es negativa en un semientorno del punto a y positiva en el otro semientorno 
T) f presenta un punto de inflexión en x=a 

Demostración:
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g es derivable y continua en x=a.
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g'(a) = 0
g''(x) = f''(x)
=> 
signo de g''(x):
  -       +
-------|-------
      a   
=> por cond. suf. Para laexistencia de mínimo relativo g' presenta un mínimo relativo en a 
=> por def. de mínimo relativo, existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g'(x) > g'(a) = 0 
signo de g'(x):
  +   0   +
-------|-------
      a   
=> g es creciente en a

La tangente a g en x=a es horizontal, pero igual g es creciente. La gráfica de g cerca de a es algo como 
por def. de crecimiento puntual, existe δ> 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) g(x) < g(a) = 0
=> f(x) - f'(a)(x-a) - f(a) < 0 => f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) 
y para todo x perteneciente a (a,a + δ) g(x) > g(a) = 0
=> f(x) - f'(a)(x-a) - f(a) > 0 => f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) 
por definición, f presenta un punto de inflexión en x=a.

Ejemplo
f(x) = x3
f'(x) = 3x2
f''(x) = 6x         -   0   +       sg f'' ----|---->            0 f presenta un punto de inflexión en x=0 |     | |


Aplicacion de ecuaciones diferenciales

Introduccion

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la...