aplicacion de derivadas

DP. - AS - 5119 – 2007

Matemáticas

ISSN: 1988 - 379X

A
AP
PLLIIC
CA
AC
CIIÓ
ÓN
ND
DE
ED
DE
ER
RIIV
VA
AD
DA
AS
S:: P
PR
RO
OB
BLLE
EM
MA
AS
SD
DE
E
O
OP
PTTIIM
MIIZZA
AC
CIIÓ
ÓN
NC
CO
ON
N 11 V
VA
AR
RIIA
AB
BLLE
E..
Un vendedor de enciclopedias recibe, como sueldo mensual, una cantidad fija de
500 € más una comisión que depende del número deenciclopedias que venda según la
expresión:
100x - 0.25x3
(donde x representa el número de enciclopedias).

003

El vendedor debe de correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de 100 €
mensuales más otros variables, que estima en 7 € por cada enciclopedia que vende.
Se pide:

2B

(a) Obtén la función que recoge el sueldo mensual del vendedor.
(b) Determina la función degastos.
(c) Obtén la función de beneficios (sueldo menos gastos) del vendedor.
(d) ¿Cuántas enciclopedias debe vender para obtener el máximo beneficio
mensual? Calcula dicho beneficio.
MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
RESOLUCIÓN apartado a

x: "Número de enciclopedias"
S(x): Sueldo mensual.
S(x) = 500 + 100x - 0.25x3
RESOLUCIÓN apartado bG(x): Gastos mensuales.
G(x) = 100 + 7x
RESOLUCIÓN apartado c

B(x): Beneficios mensuales.
B(x) = S(x) - G(x)
B(x) = (500 + 100x - 0.25x3) - (100 + 7x)
B(x) = 400 + 93x - 0.25x3
RESOLUCIÓN apartado d

Para que la función B(x) alcance un máximo → B'(x) = 0
B'(x) = 93 - 0.75x2 = 0
- 0'75x2 = - 93
x=±

→ x2 = 124

124 = 2 31 ≅ 11.14

x1 = 2 31 ¿Máximo o mínimo?
x2 = - 2 31 ¿Máximo omínimo?
Estudiamos la derivada segunda para conocer dónde se encuentra el máximo y el mínimo:
B''(x) = - 1.5x ➩ B''(2 31 ) = - 1.5 · 2 31 < 0 MÁXIMO
B''(x) = - 1.5x ➩ B''(-2 31 ) = - 1.5·(- 2 31 ) > 0 MÍNIMO
Calculamos el valor numérico de la función para x = 11
B(x) = 400 + 93x - 0.25x3
B(2) = 400 + 93 · 11 - 0.25 · 113
B(x) = 1090.25
Para obtener el máximo beneficio han de vendersemensualmente 11 enciclopedias,
momento en el que el beneficio asciende a 1090.25 €.

COMPROBACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA
Si representamos gráficamente la función se pueden ratificar y comprobar visualmente, de forma fácil y
rápida, las conclusiones obtenidas a través del estudio analítico de la función mediante derivadas:
www.aulamatematica.com

1 Abel Martín

5000
4

Los costes de fabricación C(x) en € de cierta variedad de galletas dependen
de la cantidad elaborada (x en Kg) de acuerdo con la siguiente expresión:
C(x) = 10 + 1.7 x
El fabricante estima que el precio de venta de cada Kg. de galletas viene dado
por:
P(x) = 2 -

004

25x 2
100

en €

2B

(a) ¿El precio de venta disminuye con la cantidad?
(b)Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtén la función que recoge todas
sus ganancias.
(c) ¿Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias?
(d) En la situación óptima, ¿cuál es el precio de venta?, ¿qué ganancia se obtiene?
MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
RESOLUCIÓN apartado a

Para comprobar cómo se comporta elcrecimiento de la función "Precio de venta" con respecto a
la cantidad de Kg. estudiamos dicho crecimiento:
Para que P(x) sea estrictamente creciente → P'(x) > 0
Para que P(x) sea estrictamente decreciente → P'(x) < 0
P(x) = 200 P' (x) = 0 -

25x 2
100

25
−50x
−x
·2x =
=
100
100
2

Estudiamos el signo de la derivada primera de la función:

−x
=0 →
2

x=0

Estudiamos elsigno de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor

+
Creciente

0

-

ℜ

Decreciente

Como el dominio de la función es para x ≥ 0 podemos determinar que la función es
estrictamente decreciente en todo su dominio.
RESOLUCIÓN apartado b

Ganancias: G(x)
Ingresos: I(x) = x · P (x)
Gastos o costes: C(x)
Ganancia = Ingresos - Gastos
G(x) = x · P (x) - C...