aplicacion de la integral definida

Aplicaciones de la integral Definida

-Área comprendida entre dos (2) graficas:
Suponga que F y G son continuas en el intervalo [a, b], y que F(x) ≥G(x), para todo X en [a, b]. Entonces el área “A” de la región acotada por las graficas de F, G, X=a, X=b, está dada por:
A=

Ejemplo: Calcule el área de la región acotada por las graficas de las ecuaciones:
y1 =x2; y2=A=
A=
A= -
A= -
A=
A= = u.a

Ejemplo: Calcule el área de la región acotada por las graficas de las ecuaciones:
;










A=
A=
A=
A=
A=
A=
A= = u.a



Volúmenes desólidos de revolución
-Método de los discos
Si una región del plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un salido llamado solido de revolución. La recta alrededor de la cual el gira el sólido, se llama eje de revolución. Si la región es acotada por la grafica de una función continua no negativa F, por el eje X y por las graficas de x=a, x=b (fig. 1); gira alrededor del eje X, generaun sólido como el que muestra la figura 2.





Fig. 1 Fig.2

Al interceptar el sólido mostrado con un plano perpendicular al eje X se obtiene una sección circular. Suponga que F es continua y que F(x) ≥0 para todo x en [a, b]. Considere la suma de Riemann , donde es cualquier numero en el i-esimo intervalode una partición P en [a, b]. En términos geométricos esta nos da las áreas de unos rectángulos como los que se muestra en la figura (3), el espacio del solido generado es un disco circular, como se muestra en la figura (4).






Fig. 3 Fig.4
Teorema: sea continua en[a,b], el volumen “V” del solido de revolución generado al girar del eje “X”, la región acotada por las graficas de ,xa , xb y por el eje “X” está dada por:

Ejemplo: La región acotada por el eje “Y” y las graficas de , gira alrededor del eje “Y”. Calcule el volumen del solido resultante.













V=

V=

V=

V=

V= =

-Métodos de las arandelas:
Consideramos acontinuación una región dada por las graficas de x=a, x=b y las graficas de dos (2) funciones continuas y donde para todo x en [a, b]. Esta región gira alrededor del eje “X”, genera un sólido como el que se ve en la figura (1). Observe que si para todo x en [a, b], entonces el sólido tiene un agujero.
Como se ve en la figura (2), un rectángulo que se extiende desde la grafica de hasta lagrafica de , genera un sólido en forma de arandela cuyo volumen se puede calcular restando el volumen del solido generado por la menor de las dos (2) regiones al volumen de las generado por la mayor de las dos (2) regiones.



Y YX
Fig. 1 Fig.2

Ejemplo: Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas y en torno al eje x.







V=
V=
V=
V=
V=-Método de las cascaras
Existe otro método para encontrar el volumen de un sólido de Revolución. En este, se usan cilindros huecos, es decir, cascaras cilíndricas como la que se muestra en la figura (1).
El volumen de una cascara de radio exterior radio interior y altura h, es de Esta expresión se puede escribir como:
=
=
Sea ; Radio medio de la cascara
; El...