Aplicacion de las derivadas

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TANGENTES Y NORMALES
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, porser rectas perpendiculares entre sí.
* Ecuación de tangentes y normales: dada una curva por su ecuación y= f(x), y las coordenadas de uno de sus puntos, P(x1 , y1), la ecuación de la tangente de la curva en p es de la forma
y- y1 =m (x - x1)
Para conocer la pendiente m basta obtener f ’ (x) y sustituir en ella las variables (x , y) por (x1 , y1). Se tiene, por tanto, para la ecuación de latangente:
y - y1 =f'x(x- x1)
Y para la ecuación de la normal:
y- y1= - 1f'(x) (x- x1)
* Longitud de la subtangente y de la subnormal: la subtangente ST, es la diferencia del punto de intersección de la tangente con X’X al pie de la ordenada del punto de tangencia, y la subnormal SN es la distancia de este punto al de la intersección de la normal con el mismo eje X’X.
En el triangulorectángulo TSP, se tiene:
TS=SPcot⁡∝
O sea:
TS=y1f'(x)
En el triangulo rectángulo NSP se tiene, a su vez:
SN=SP tan∝
O sea:
SN= y1 ×f'(x)

* Observaciones: 1ª.- si la subtangente queda a la derecha del punto S, por convención se considera positiva, y negativa si queda a la izquierda. Igual cosa sucede con la subnormal.
2ª.- para obtener el valor absoluto o módulo de la subtangente y de lasubnormal, tómese únicamente el módulo de la ordenada del punto de tangencia y el de la pendiente de la tangente.

* Aplicaciones: dada la elipse 5y2- 9y+ x2- x-2=0 y el punto de la curva, obténgase la ecuación de la tangente y de la normal, y la longitud de la subtangente y de la subnormal.
Derívese; se obtiene:
10yyx'- 9x'+ 2x-1=0
De donde:
yx'= - 2x+110y- 9= -5
Por tanto, laecuación de la tangente es:
y-1= -5 (x-3)
O sea:
y+5x=16
Longitud de la subtangente (modulo):
ST=1 :5= 15
La longitud de la subnormal (modulo):
SN=1 ×5=5

EJERCICIOS:
1.- Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
y = xm= 1
f'(a) = 1
f'a= limg →0(a+g)2- a2g= limg→0a2+2ag+g2-a2g= limg→02ag+g2g=limg→02a+g=2a2a=1 a= 12 p12,14

2.- Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.
fx=1x f1=1
f'x=-1x2 f'1=-1
y-1=-x+1 y=-x+2
A2,0 B(0,2)
s= 2.22=2u2

3.- Unobservador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:
¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

h=2000.tgπ3=20003
¿Cuál es la velocidad del cohetecuando Φ = Π/3 radianes?
ht=2000.tg∅(t)
vt=h't=2000.1+tg2∅.∅'(t)
vt=2000.1+tg2π3.120=400ms
4.- Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
fx=lntg 2x fπ8=lntg2π8=0
f'x=2(1+tg22x)tg2x f'π8=21+tg22π8tg2π8=4

E. DE LA TANGENTE
y-0=4x-π8 4x-y-π2=0
E. DE LANORMAL
y-0=-14x-π8 x+4y-π8=0
5.- Dada la curva de ecuación f(x) = x2 - 3x - 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.
f'x=tg45°=1
1=limg→02(x+g)2-3x+g-1-(2x2-3x-1)g
1=limg→02x2+4xg+2g2-3x-3g-1-2x2+3x+1g
1=limg→0g(4x+2g-3)g
1=4x-3 x=1...
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