Aplicacion de las integrales

7

Aplicaciones de la integral



* CONTENIDO
* Área de una región entre dos curvas
* Punto de intersección de dos curvas
* Elementos representativos de la integración




7.1_________________________
Área de una región entre dos curvas




Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales defendidas para el cálculo de laárea de una región situada por debajo de la curva, el área de una región comprendida entre dos curvas. Si, como en la figura 7.1, las graficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x podemos interpretar geométricamente el are de la región entre los gráficos como el área situada debajo de los gráfica de f menos el área de la región situada debajo de la grafica g, como se muestra en lafigura 7.2.










Si bien la figura 7.2 muetra las graficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario i se puede usar el mismo integrado [fx-gx] siempre y cuando f y g sean continuas y gx≤f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume en este resultado en el teorema siguiente.
TEOREMA 7.1 AREA DE UNA REION ENTRE DOS CURVAS
Si f y g son continuas en [a, b]y g (x)≤ f (x) para todo x en [a, b] entonces el área de la región limitada por la graficas de f y g y las líneas verticales x =a y x = b es

abfx-gx dx

Demostración: Partimos el intervalo [a, b] en n subíntralo, cada uno de anchura Δx y dibujamos un rectángulo respectivo de anchura Δx y alturas fx(xi)- g(xi), donde x esta en el i-ésimo intervalo, tal como muestrala Figura 7.3. El área de este rectángulo representativo es

∆Ai=alturaanchura=[fxi-gxi]∆x
Sumando las aéreas de los n rectángulos y tomando el limite cuando ||Δ|| 0(n→∞), tenomos

limn→∞n→∞n[fxi-gxi]∆x
Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f - g también se continua en dicho intervalo y el limite existente. Por tanto, el área A de la región dad esA=limn→∞i=1n[fxi-gxi]∆xabfx-gxdx
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|Nota: se usan los rectángulos representativos a lo largo de este capitulo en diferentes aplicaciones de integral. Un rectángulo vertical (de anchura Δx) implica integración con respecto a x, mientras q un rectángulo horizontal(de anchura Δy) implica integración conrespecto a y.
Es importante darse cuenta q el desarrollo de la fórmula del área en el Teorema 7.1 depende solamente de la continuidad de f y g del supuesto de que g (x) ≤ f (x). No depende de las posiciones de la graficas de f y g con respecto al eje x Trate de convencerse usted mismo observando la Figura 7.4.

EJEMPLO 1 Hallando el área de una región entre dos curvas.Hallar el área de la región limitada por las graficas de y = x2 + 2, y= -x, x = 0 y x = 1.
Solución: hacemos g (x) = -x y f x= x2+2 entonces gx≤f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la Figura 7.5 Por tanto, el área del rectángulo representativo es

∆A=fx-gx∆x=x2-2--xdx
De esta forma, por el Temor 7.1 hallamos q el área de la región es

A=baf(x-gx]dx=01x2-2--xdx=x33+x22+2x10
=13+12+2=176
En el ejemplo 1, las graficas de f (x)=x2 +2 y g(x)= ─ x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema mas común involucra el área de una región limitada por dos gráficos que se intersecan, debiendo calcularse los valores de a y b

EJEMPLO 2 Una región situada entre dos gráficos que se cortan_________
Hallar el área dela región limitada por las graficas de f (x) = 2 ─ x2 y g(x) = x.

Solución: Por la Figura 7.6 vemos que las graficas de f y g tienen los dos puntos de intersección. Para hallar las coordenadas x de estos puntos, igualamos f (x) con g(x) i despejamos x

2 ─ x2 = x Igual f (x) con g (x)
─ x2 ─ x + 2 =0
─ (x + 2)(x ─1)=0 x= ─2 y x=1

Por tanto a= ─2 y b= 1....