Aplicacion derivada en economia

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CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas Introducción En la economía, la variación de alguna cantidad con respecto a otra puede ser descrita por un concepto promedio o por un concepto marginal. El concepto de promedio expresa la variación de una cantidad sobre un rango específico de valores de una segunda cantidad. Mientras que el concepto marginal es el cambio instantáneoen la primera cantidad que resulta de un cambio muy pequeño en la segunda cantidad.

La derivada como razón de cambio En nuestro dinámico mundo, todo está sujeto a cambios y por lo tanto interesa saber cuál es la razón de estos cambios. La velocidad con que se realizan los cambios no siempre es uniforme, especialmente cuando se relacionan entre sí dos o más cantidades.

Razón de Cambio PromedioConsidere f : I → IR, f ( x) = y , una función continua en el intervalo real I. Cuando x cambia de un valor inicial x1 a un valor final x2 , la diferencia x2 − x1 se llama incremento de la variable en [ x1 , x 2 ] . La diferencia f ( x 2 ) − f ( x1 ) se llama incremento de la función en [ x1 , x 2 ] . Al cociente del incremento de la función y el incremento de la variable se le llama razón decambio promedio de la función f con respecto a x.
f ( x 2 ) − f ( x1 ) ∆ f = ∆ x x 2 − x1

A éste cociente también se le conoce como cociente de diferencias.

Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I N. Figueroa & V. Ramírez

Ejemplo Si C ( x) = 0.5 x 2 + x + 2 denota la función de costo total de x unidades de un producto, encontrar la razón de cambio promedio delcosto total con respecto a x, al cambiar la producción de 5 a 10 unidades. Solución Aquí tenemos que x1 = 5, x 2 = 10 y la función es C (x) , calculamos entonces
∆ C C (10) − C (5) 62 − 19.5 = = = 8.5 ∆x 10 − 5 5

El concepto de razón de cambio promedio se aplica en muchos modelos donde interesa saber velocidades ya sean de móviles, crecimiento, etc.

Ejemplo Una persona inicia un viaje en autoa las 8am y llega a su destino a las 5pm. Al salir su automóvil registraba 30000km recorridos, mientras que al llegar la cifra era 30450km. velocidad media? Solución Se sabe que la velocidad media corresponde con la razón de cambio promedio de la distancia d con respecto al tiempo t. En este caso
Velocidad Media = ∆ d 30450 − 30000 = = 50 ( km / h) ∆t 17 − 8

¿Cuál fue su

Lo anterior noquiere decir que el auto viajó siempre a 50 km/h, algunas veces disminuyó su velocidad y algunas otras la aumentó, pero en promedio viajó a 50 km/h.

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Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I N. Figueroa & V. Ramírez

Se puede notar que aunque los promedios son útiles, no dan el comportamiento exacto en un instante particular. Por ejemplo, el saber que el auto viajóa una velocidad promedio de 50 km/h no permite determinar la velocidad exacta a la 1pm. Lo que se necesita no es la velocidad promedio, sino una velocidad instantánea.

Razón de Cambio Instantánea Igual que antes sea f : I → IR, f ( x) = y , una función continua en el intervalo real I. La razón de cambio instantánea (razón de cambio) de f con respecto a x en el instante a, con a ∈ I ,corresponde con el siguiente límite, si existe:
df (a ) f ( x ) − f (a) = lim x→ a dx x− a

El anterior límite representa la derivada en un punto de f, f ' (a ) , por lo tanto se puede utilizar la derivada de una función en un punto para calcular la razón de cambio instantánea en ese punto.

Razones Relacionadas En muchos problemas prácticos, se da una cantidad como una función de una variable y éstaa su vez puede escribirse como una función de una segunda variable. Usando la regla de la cadena, podemos calcular la razón de cambio de la cantidad original con respecto a la segunda.

Ejemplo En cierta fábrica, el costo total de fabricación de x artículos diariamente es de

C ( x) = 0.2 x 2 + x + 900 . Según la experiencia, se ha determinado que durante las primeras t horas

del trabajo...
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