Aplicacion lineal

APLICACIONES LINEALES.
INTRODUCCIÓN: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B. La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: A  B → o bien

f→ A  B.
El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final. Si la aplicación f asigna al elemento a∈A el elemento b∈B,diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a) = b. La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen. Clasificación de las aplicaciones: • Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.• Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del conjunto final B han sido utilizados. • Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A. Si f esbiyectiva existe su inversa, denotada f –1: A  B , que “deshace” lo hecho por f. →

Ejemplos: 1. La aplicación del conjunto de la población española mayor de edad en el conjunto de los números naturales, que asigna a cada ciudadano su número de DNI. Es inyectiva, pues no hay dos personas con el mismo DNI. No es suprayectiva, pues no todos los números se utilizan. 2. La aplicación del conjunto de losnúmeros reales en el conjunto de los reales positivos, ℜ  ℜ+ → que asigna a cada número su cuadrado: x x2 No es inyectiva, pues hay números con el mismo cuadrado (p.ej. 2 y –2). Es suprayectiva, pues todos los reales positivos son el cuadrado de algún número. • En este capítulo definiremos aplicaciones entre espacios vectoriales.

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Aplicaciones Lineales 1APLICACIONES LINEALES. PROPIEDADES
Definición: Aplicación lineal
Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada una aplicación f: V  W, diremos que f es → lineal si conserva las combinaciones lineales, es decir: dada una combinación lineal entre vectores de V, sus imágenes en W verifican la misma combinación: si u = α v+ β w (en V) entonces u’ = α v’ + β w’ (en W) donde u’, v’, w’ sonrespectivamente las imágenes de u, v, w. Esto se puede expresar también así: (1) f(α v+ β w) = α f(v) + β f(w) para v, w∈V (“La imagen de una combinación lineal, es la combinación lineal de las imágenes”. ) También es equivalente a afirmar que se conserva la suma y el producto por escalares: (2) (2a) f(v+ w) = f(v) + f(w) (2b) f(α v) = α f(v) para v, w∈V para v∈V, α escalar.

Por tanto, a la hora de probarsi una aplicación es lineal, podemos utilizar indistintamente (1) o (2).

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Las aplicaciones lineales también se pueden llamar homomorfismos.

Pueden también definirse aplicaciones en subespacios vectoriales, pues éstos funcionan como espacios vectoriales. Por ejemplo, S={(α, 2α) : α ∈ ℜ } es un subespacio de ℜ2 y en él podemos definir la aplicación lineal S (α , 2α )

f→ 

ℜ3 (3α, 4α ,5α )

Ejemplos.
1. Consideremos la siguiente aplicación de ℜ3 en ℜ2 y veamos si es lineal: ℜ3 (x,y,z)

f→ 

ℜ2 (2x, z)

Vamos a comprobar que se cumple la afirmación (2) anterior. (2a): Veamos que f(v+ w) = f(v) + f(w) para cualesquiera v, w∈ ℜ3 : Sean dos vectores genéricos de ℜ3 , v=(a,b,c), w= (a’, b’, c’), entonces f(v + w) = f ( (a,b,c) + (a’, b’, c’) ) = f(a+a’, b+b’, c+c’)= ( 2(a+a’), c+c’) f(v) + f(w) = f(a,b,c) + f(a’,b’,c’) = (2a, c) + (2a' , c’) = ( 2a+2a’, c+c’) son iguales.

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Aplicaciones Lineales 2

(2b): Veamos que f(a v) = α f(v) para cualesquiera v ∈ 3 , α escalar. ℜ Sea un vector genérico v=(a,b,c) de ℜ3 y un escalar α , entonces: α f(v) = α f(a,b,c) = α (2a, c) = (2α a, α c) f(α v) = f( α (a,b,c)) = f(α a, α b, α...