Aplicacion teorema limite central

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INDICE

Verificación de las condiciones de hipótesis del límite central 3
Medias muestrales referidas de tamaño 15 5
Tabla de Frecuencia (tamaño 15) 6
Histograma (tamaño 15) 6
Medias muestrales referidas de tamaño 30 7
Tabla de Frecuencia (tamaño 30) 8
Histograma (tamaño 30) 8
Medias muestrales referidas de tamaño 60 9
Tabla deFrecuencia (tamaño 60) 10
Histograma (tamaño 60) 10
Conclusión 11

Considere la función de probabilidad denominada uniforme discreta.

fx= 1m si x=1, 2, …..,m. 0 en otro caso.

a) Verifique que la función dada cumplen con las condiciones de hipótesis del teorema del límite central.
El teorema del límite central
TEOREMA:Sea X una variable aleatoria con esperanza y varianza finita.
EX=μ y VX=σ2
Si se toman muchas muestras de tamaño n de la forma X1, X2,…,Xn la distribución de las medias muestrales es aproximadamente normal con media μ y varianza σ2n.
x ~ N ( μ, σ2n )
Las condiciones de hipótesis son que la media y la varianza σ2 son finitas.
Demostración.
Sea X unavariable aleatoria discreta uniforme con m valores que están en el rango de X1, X2,…,Xm.
μ=EX=X1*PX1+X2*PX2+…+Xm*PXm
μ=i=1mXi*PXi
μ=i=1mXi*1m
μ= 1m i=1mXi
μ= 1m m(m+1)2
μ= (m+1)2
Como m es finito, μ es finito.

σ2=VX= X1-μ2PX1+X2-μ2PX2+…+Xm-μ2PXm
σ2=i=1mXi-μ2PXi
σ2=i=1mXi-μ2*1m
σ2=1mi=1mXi-μ2
σ2=1mi=1mXi2-1mi=1m2Xi2μ+1mi=1mμ2
σ2=1mmm+1(2m+1)6-2mmm+124+1mmm+124σ2=2m2+3m+16-m+122+m+124
σ2=4m2+6m+2-3m2-6m-112
σ2=m2+112
Como m es finito, σ2 es finito.

b) considere el caso particular para m=12. Se pide extraer 200 muestras con reemplazo de tamaño 15, 30, 60.
Etiquetemos X=xi (para i=1,…12) y así tomamos 200 muestras. La variable aleatoria con distribución uniforme discreta está dada por
fxi= 112 ;para i=1, 2, …, 12.

200 MUSTRAS CON REEMPLAZO DE TAMAÑO 15.

*Medias muestrales referidas a tamaño 15.

6,20 | 6,00 | 6,67 | 6,27 | 5,53 | 8,20 | 5,27 | 7,73 | 6,47 | 5,60 |
8,27 | 5,20 | 8,07 | 7,60 | 6,73 | 4,87 | 6,53 | 6,80 | 6,80 | 7,20 |
7,40 | 6,47 | 7,00 | 5,67 | 6,47 | 6,07 | 6,67 | 6,87 | 8,07 | 6,07 |
5,80 | 6,00 | 5,73 | 7,13 | 6,53 | 5,60 | 6,13 | 5,73 | 6,13 | 7,27 |
7,87 | 7,60 | 5,33 | 5,67 | 7,00 | 7,93 | 5,53 | 6,80 | 6,47 | 7,47 |4,07 | 6,53 | 5,93 | 7,13 | 6,47 | 7,20 | 7,87 | 7,80 | 6,27 | 7,20 |
6,60 | 8,13 | 7,13 | 6,53 | 6,00 | 5,73 | 8,20 | 8,00 | 7,93 | 7,27 |
6,53 | 7,07 | 6,80 | 7,20 | 8,60 | 6,87 | 6,60 | 6,87 | 5,53 | 5,87 |
6,93 | 5,20 | 6,20 | 7,80 | 5,53 | 6,73 | 6,60 | 6,80 | 5,53 | 6,93 |
5,87 | 5,53 | 7,40 | 6,13 | 6,67 | 5,47 | 6,27 | 6,33 | 6,20 | 5,20 |
6,60 | 6,93 | 7,07 | 5,73 | 7,60 | 5,07| 6,33 | 6,53 | 7,73 | 6,13 |
6,60 | 6,07 | 5,60 | 7,33 | 6,33 | 7,73 | 5,73 | 5,93 | 4,67 | 6,60 |
7,53 | 6,93 | 5,47 | 5,40 | 6,13 | 6,27 | 7,07 | 6,27 | 6,80 | 5,73 |
4,60 | 6,87 | 5,93 | 5,60 | 6,47 | 4,80 | 4,47 | 9,00 | 6,67 | 7,27 |
6,20 | 4,73 | 6,73 | 6,07 | 5,53 | 8,27 | 6,07 | 6,87 | 6,73 | 3,73 |
5,73 | 6,13 | 7,93 | 7,00 | 6,33 | 6,60 | 6,07 | 7,47 | 6,53 | 5,47 |
6,13 |4,87 | 5,87 | 6,00 | 7,07 | 6,40 | 5,93 | 7,93 | 5,40 | 6,60 |
5,27 | 5,33 | 7,00 | 6,40 | 6,33 | 6,13 | 5,60 | 6,73 | 7,33 | 5,80 |
6,07 | 7,07 | 6,80 | 7,67 | 6,20 | 7,20 | 7,80 | 5,80 | 7,67 | 5,07 |
7,73 | 7,00 | 6,53 | 7,27 | 6,20 | 6,80 | 4,80 | 6,20 | 7,67 | 7,53 |

* Tabla de Frecuencia
Medias | Frecuencia |
3,1 - 3,7 | 1 |
3,7 - 4,3 | 1 |
4,3 - 4,9 | 8 |
4,9 - 5,5 | 14|
5,5- 6,1 | 42 |
6,1 - 6,7 | 49 |
6,7 -7,2 | 44 |
7,2 - 7,8 | 25 |
7,8 - 8,4 | 14 |
8,4 - 9,0 | 2 |

* Histograma, con su polígono de frecuencia

200 MUSTRAS CON REEMPLAZO DE TAMAÑO 30.
* Medias muestrales referidas a tamaño 30

6,97 | 7,77 | 6,30 | 6,10 | 7,23 | 6,77 | 7,53 | 6,83 | 5,83 | 6,27 |
6,90 | 7,03 | 6,03 | 7,13 | 6,27 | 7,50 | 7,27 | 6,73 | 5,90 | 6,87...
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