Aplicaciones Calculo Integral

CORPORACION UNIVERSITARIA DE LA COSTA. CUC
GUIA DE CALCULO INTEGRAL

Área de una región entre dos curvas

Sea f(x) y g(x) funciones continuas en [a,b], con f(x)>g(x). El área entre las funciones f(x) ٨ g(x) y limitada por las líneas verticales x=a y x=b viene dado por:

Si
| |
| |
| |

Ejemplo1:
Hallar el área de la región acotada por las graficas…


a)Integrando en X
b) Integrando en Y

Solución:

Puntos de corte
Para hallar los puntos de corte igualamos las funciones (y = y) y luego despejamos de tal forma que igualen a cero y obtener los valores, primero, de x.

Ya teniendo los valores de x, los evaluamos en una de las funciones dadas y así obtener los puntos de corte:

Si
Si

Tenemos los puntos de corte, los cuales son puntosdonde se tocan las graficas de las dos funciones.

a) |

b) | |

Ejemplo2:
Hallar el área de la región acotada por la gráfica…

Solución
Puntos de corte Si Si Si | |

Ejemplo3:
Hallar el área acotada por…


Puntos de corte Si Si | |

Ejemplo4:
Hallar el área acotada por…

Puntos de corteSiSiPunto de corte entre la recta Punto de corte entre | Y si amplificamos la imagen del área a calcular… |
| |

Cálculo de volúmenes

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecerfrecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje X o al eje Y. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
METODO DE DISCO
VOLUMEN SÓLIDOS DE REVOLUCION SIN AGUJERO| |
| |

Ejemplo1:



| como nos podemos dar cuenta, por medio de la integral definida obtenemos la fórmula de volumen de una esfera |

Ejemplo2:
Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar alrededor del eje x en [0,4] la curva

Si Si | | |

El Método de las arandelas

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos derevolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:

Volumen de la arandela =

Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de losdiscos, si tenemos dos Funciones continuas f(x) y g(x) definidas en un intervalo cerrado [a,b], con , y las rectas
x=a y x=b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:

Ó lo que es lo mismo

VOLUMEN SÓLIDOS DE REVOLUCION CON AGUJERO

| DondeRadio ExternoRadio Interno |
| DondeRadio ExternoRadio Interno |Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.

Ejemplo1:
Sea R la región limitada por las gráficas de
Calcule el volumen del sólido formado cuando R gira alrededor de:
a) Eje y
b) Eje x
c) Recta y=2

Si

Solución:

a) Eje y
| |

b)Eje x
| RadioExt. Radio Int. |

c) recta y = 2
| Radio Ext. Radio Int. |

EJERCICIOS PARA EL FINAL;GranVille: pag 318 : # del 6 hasta el #14Pag 327 : # 21,24 ,26,27 y # 29( de la a hasta l h)LARSON:PAG 452 : # 1 hasta # 6Pag 463: # 1 hasta #8Pag 472 : #1 hasta # 4 |

Longitud de un arco

Definición: Si la función y= f(x) representa una curva suave en el intervalo [a,b], la longitud de...