Aplicaciones de algebra lineal

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Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 18 de julio de 2009

´ Indice
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. Introducci´n . . . . . . . . . . . . o Objetivo . . . . . . . . . . . . . . Fracciones parciales . . . . . . . . Determinaci´n de curvas . . . . . o Balanceo de Reacciones Qu´ ımicas Aplicaciones a Manufactura . . . Aplicaciones Diversas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 5 6

4.1.

Introducci´n o

En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de la resoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir las aplicaciones. Queda como reto personal encontrarsituaciones donde surgan este tipo de problemas.

4.2.

Objetivo

La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resoluci´n de un sistema o de ecuaciones lineales. Notablemente, la t´cnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos m´s. e a

4.3.

Fracciones parciales

Una t´cnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matem´ticas esaquella conocida como fracciones e a ´ parciales. Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma m´s conveniente para cierto tipo de c´lculo. a a Ejemplo 4.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: a b 1 = +(x − 2)(x + 3) x−2 x+3

Soluci´n o Se debe cumplir:

1 (x−2)(x+3)

= = = =

a x−2

+

b x+3

a (x+3)+b (x−2) (x−2) (x+3) ax+3a+bx−2b (x−2)(x+3) (3 a−2 b) + (a+b) x (x−2)(x+3)

Esto se cumple si: 1 + 0 ∗ x = 1 = (3 a − 2 b) + (a + b) x Es decir, si: 3a − 2b = 1 a + b = 0 El cual tiene como soluci´n: o a= 1 1 yb=− 5 5

Ejemplo 4.2 (Forma dudosa) Determine los valores de lasconstantes a y b para que satisfagan: a b 2 + 2x + 2x2 = + (x + 1)(x2 + 1) x + 1 x2 + 1 Soluci´n o Se debe cumplir:
2+2x+2x2 (x+1)(x2 +1)

= = = =

a x+1

+

b x2 +1

a (x2 +1)+b (x+1) (x+1) (x2 +1) a x2 + a + b x + b (x+1)(x2 +1) (a+b) + (b) x+a x2 (x+1)(x2 +1)

Esto se cumple si: 2 + 2x + 2x2 = (a + b) + (b) x + a x2 Es decir, si: a + b = 2 + b = 2 a = 2 El cual no tiene soluci´n. ¿Qu´puede andar mal? La forma propuesta para la expresi´n en fracciones parciao e o les. Ejemplo 4.3 Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan: a bx + c 2 + 2x + 2x2 = + 2 2 + 1) (x + 1)(x x+1 x +1 2

Soluci´n o Se debe cumplir:
2x2 +2x+2 (x+1)(x2 +1)

= = = =

a x+1

+

bx+c x2 +1

a(x2 +1)+(bx+c)(x+1) (x+1)(x2 +1) ax2 +a+bx2 +bx+cx+c (x+1)(x2 +1) (a+b)x2+(b+c)x+(a+c) (x+1)(x2 +1)

Esto se cumple si: 2x2 + 2x + 2 = (a + b)x2 + (b + c)x + (a + c) Es decir, si: a + b = 2 b + c = 2 a + c = 2 El cual tiene como soluci´n: o a = 1, b = 1 y c = 1

4.4.

Determinaci´n de curvas o

o Un problema comun en diferentes ´reas es la determinaci´n de curvas. es decir el problema de encontrar a la funci´n que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conocela naturaleza de la funci´n, es decir, se o o conoce la forma que debe tener la funci´n. Por ejemplo, l´ o ınea recta, par´bola o exponencial etc. Lo que se a hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma m´s general de la funci´n mediante par´metros a o a constantes. Y posteriormente se determinan estos par´metros haciendo pasar la funci´n por los puntos conoa o cidos. Ejemplo...
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