Aplicaciones De Derivadas

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS |
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DERIVADAS
Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su gananciay es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.
Generalizando para cualquier función, obtenemos las siguientes relaciones, con definiciones análogas a la comentada:
- De la función de coste C(x), la función de coste marginal C’(x).
- De la función de ingreso I(x), la función de ingreso marginal I’(x).
- De la función de beneficio B(x), la funciónde beneficio marginal B’(x).
- De la función de utilidad U(x), la función de utilidad marginal U´(x).

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Costo:

Si el número de unidades de un bien es x ; entonces el costo Total puede expresarse como:
A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:
COSTO PROMEDIO:
Cp = C (x) / x = y
COSTO MARGINAL:
Cm =C ‘ (x) = dy / dx
COSTO PROMEDIO MARGINAL:
Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2 d/dx * Cp
Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes
Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x
Costo Marginal: Cm = C’(x) = a
Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2
Costo Marginal

El costo marginal es el costo adicional que se genera alproducir una unidad adicional de un producto o servicio.
Ahora, supongamos que tenemos una función costo Q(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:

Al cociente

se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el límite del cociente anterior al tender h a cero,

se le llamacosto marginal por producir h unidades adicionales, es decir,

Como se analizó anteriormente, en la práctica solamente se conocen puntos aislados de la gráfica de la función costo, por tanto no es posible, en general, conocer la función que corresponde a tales puntos de la gráfica de la función costo, es por eso que se recurre a utilizar lo que se conoce como el análisis marginal, que consisteen determinar el costo por producir la siguiente unidad por medio de los puntos que se conocen en la gráfica, de la siguiente manera:
Al suponer que se tienen algunos puntos de cierta gráfica y que no se conoce la función costo a la que corresponden no se puede calcular el costo marginal al producir h unidades adicionales pero, se puede calcular, por extrapolación, el costo por producir lasiguiente unidad, ya que se conoce el costo en el punto x+1 (además de conocer el costo en el punto x); entonces, el costo adicional por producir 1 unidad más es :

Si se considera que en la práctica el dominio de la función Q es un subconjunto de los
números naturales y por tanto que x + h 2 N1, y que además, el punto más próximo a cero es 1, entonces, podemos considerar una aproximación al costomarginal dada por la relación anterior, de la siguiente manera,

Cabe mencionar que, para que ésta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la gráfica de la función costo sea una curva suave, (dentro de determinado intervalo el comportamiento de la gráfica no varía mucho) y se requiere considerar, además, que se producen solamente unidades completas (ver ejemplo 3). En el ejemplo 4 seilustra el caso en que la función costo no es una curva suave.

EJEMPLOS:
1. Una empresa hotelera tiene la función de costos totales:, donde x es el número de servicios vendidos de un año. Calcule la razón de cambio promedio y diga cuál es la interpretación económica de esta fracción.
Solución:

es el costo marginal (el costo adicional de producir una unidad más).
2. El costo anual de...