Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Prof. Leonardo Sáenz Baez LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON. El enunciado de la ley de Newton para el enfriamiento de un cuerpo es: La razón o velocidad con que cambia la temperatura de un cuerpo, con respecto al tiempo, es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio ambiente Si denotamos con T a latemperatura del cuerpo en un tiempo t cualquiera y con T m a la temperaura del medio ambiente, entonces la ley de enfriamiento se puede formular mediante la siguiente ecuación diferencial dT  −kT − T m  dt donde k es una constante de proporcionalidad positiva y T  T m , el signo menos en la ecuación es necesario ya que la temperatura es una función decreciente y la derivada debe ser negativa. La T, es la variable dependiente y t la variable independiente, T m y k son constantes. Esta ecuación diferencial se puede escribir dT  kT  kT m dt la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, cuya solución, como ya hemos visto se puede encontrar escribiendo: pt  k gt  kT m siendo el factor de integración t  e y por lo tanto la solución es T  e −kt  e kt kT m dt  Ce −kt T m e −kt e kt  Ce −kt T  T m  Ce −kt Ahora bien, cuando t  0 la temperatura tiene un cierto valor inicial T i , esta condición nos permite encontrar el valor de C Ti  Tm  C  C  Ti − Tm de manera que la solución se puede escribir T  T m  T i − T m e −kt debe hacerse notar que cuando t →  un tiempo muy grande , e −kt → 0 y , entonces, T → T m , lo cual significa que para un tiempolargo, la temperatura del cuerpo en enfriamiento se aproxima a la temperatura del medio ambiente.

 ptdt  e  kdt  e kt

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La ecuación diferencial dT  −kT − T m  dt tambien es separable y se puede escribir como dT  −kdt T − T m  integrando ambos lados se tiene lnT − T m   −kt  C y tomando antilogaritmos se escribe T − T m  e −ktC  e C e −kt  C 1 e −kt T  T m  C 1 e −kt ysi para t  0, T  T i , entonces Ti  Tm  C1  C1  Ti − Tm y la solución será T  T m  T i − T m e −kt donde k , la constante de proporcionalidad se puede determinar conociendo la temperatura T en algún otro valor del tiempo t ≠ 0, digamos T  T 1, para cuando t  t 1 ≠ 0. , en cuyo caso tendriamos T 1  T m  T i − T m e −kt 1 e −kt 1  T 1 − T m Ti − Tm − kt 1  ln T 1 − T m Ti − Tm k  −1 ln T 1 − T m  1 ln T i − T m t1 t1 Ti − Tm T1 − Tm Ejemplo concreto. Una barra metálica a una temperatura de 100 0 F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0 0 F. Si después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50 0 F, hallar: a) El tiempo que que debe transcurrir para que la barra adquiera una temperatura de 25 0 F y b) La temperatura de la barra después de 10 minutos.Solución. Los datos del problema son: T i  100 0 F, por lo tanto Tm  00F T 1  50 0 F para t 1  20min

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1 k  1 ln 100 − 0  1 ln2  ln2 20 20 20 50 − 0 1 t kt  t ln2 20  ln2 20

y la solución será T  0  100 − 0e −ln2 20 t T  100 1 t  100 1 t  1002 − 20 2 20 e ln2 20 t T  1002 − 20 a) Si T  25, entonces 25  1002 − 20 t 25  2 − 20 100 t 1  2 − 20 4t t

tomando logaritmo natural ln 1  − t ln2 20 4 − ln4  − t ln2 20 t ln2 2 ln2  20 2 t 20 t  40 min Después de transcurridos 40 min. la barra tendrá una temperatura de 25 0 F. b) Si t  10, entonces 10 1 T  1002 − 20  1002 − 2  100  50 2 ≈ 70. 71 0 F 2 T ≈ 70. 71 0 F La temperatura después de transcurridos 10 min sera aproximadamente de 70. 71 0 F.

HORA DE UN DECESO.En la investigación de un homicidio o de una muerte accidental, a menudo es importante estimar el momento de la muerte. Supongamos que en t  0 se descubre un cadáver y que su temperatura es T i , se supone que en el instante t d , del fallecimiento o del deceso, la temperatura del cuerpo T d tenía la temperatura normal de 37 0 C 98. 6 0 F. Considerando que se cumple la ley de enfriamiento...