Aplicaciones de la derivada.

APLICACIONES DE LA DERIVADA
 
Tema: Funciones crecientes y decrecientes
Observa la siguiente gráfica y señala en qué intervalos ella crece y decrece.

 
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Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sinembargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.
 El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.
  
Teorema: Sea f una función derivable enel intervalo (a,b). Luego,
i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).
ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).
iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b).
 
 
Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico(valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.
 A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:
1) Halla f’(x) (la derivada de f).
2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).
3) Evalua cada número crítico c en la función f paraobtener los puntos críticos.
4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.
5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).
6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada esnegativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.
 Ejemplos para discusión: Constuye la gráfica de cada una de las siguientes funciones usando la guía de los seis pasos.

 Ejercicio de práctica: Usa la guía para construir la gráfica de f(x) = 2x3 + 3x2 + 4.
 Asignación: Halla los puntos críticos, los intervalos en donde f es creciente o decreciente y construye la gráficade:

 
Tema: Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)
Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f.
 Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso,el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.
 Análogamente, si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.
 Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la gráfica.
 A losvalores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.
 Notas:
1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez.
2) Si f es una función constante, entonces f(c) es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f alcanza en todo número real c.
Teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b],f toma valores máximos y mínimos en [a,b].
 A continuación una guía para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalor [a,b]:
1) Halla los números críticos de f, igualando f’(x) a cero.
2) Evalua cada c en la función para obtener los puntos críticos.
3) Halla f(a) y f(b).
4) Determina los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y menores...