Aplicaciones de la derivada

Cap´
ıtulo 3

Aplicaciones de la derivada.
3.1.

Teorema de Rolle.

Si f es una funci´n continua en el intervalo Öa, b× y derivable en el intervalo
o
abierto Ôa, bÕ, si:
f ÔaÕ

f ÔbÕ

existe al menos un n´mero c en Ôa, bÕ tal que f ½ ÔcÕ 0. Las condiciones estableu
cidas por el Teorema de Rolle nos dicen que hay al menos un valor de x entre a
y b en el que la gr´fica de f tienetangente horizontal. Si se suprime la hip´tesis
a
o
de derivabilidad del Teorema de Rolle, f tiene todav´ un punto cr´
ıa
ıtico dentro
a
e
de Ôa, bÕ, pero quiz´ no tenga tangente horizontal en ´l (Fig. 3.1).
Ejemplo:
Aplicaci´n del Teorema de Rolle.
o
Hallar las dos interseciones con el eje x de la siguiente funci´n y probar que
o
u
f ½ ÔxÕ 0 en alg´n punto entre tales valores de x.f ÔxÕ

x2 ¡ 3x   2

El Teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un punto entre a
y b donde la derivada es cero. Ahora bien, puede suceder que haya m´s de un
a
punto que cumpla con esa condici´n.
o
Ejemplo:
Aplicaci´n del Teorema de Rolle.
o
Dada:
f ÔxÕ
hallar los valores de c en el intervalo

x4 ¡ 2x2

Ô¡2, 2Õ en los que f ½ ÔcÕ
1

0.

CAP´
ITULO 3.APLICACIONES DE LA DERIVADA.

2

Figura 3.1: a) f continua en Öa, b×, derivable en x
no derivable en x c

c. b) f continua en Öa, b×,

Figura 3.2: Teorema del valor medio.

3.2.

Teorema del Valor Medio.

Si f es una funci´n continua en el intervalo cerrado Öa, b× y derivable en el
o
intervalo abierto Ôa, bÕ existe un n´mero c en Ôa, bÕ tal que:
u
f ½ Ôc Õ

f ÔbÕ ¡ f ÔaÕ
b¡a

(Fig.3.2).
Existe la opini´n de que el Teorema del Valor Medio es el m´s importante
o
a
del c´lculo para algunos. Este se encuentra relacionado con el Teorema Fundaa
mental del C´lculo. El Teorema del Valor Medio tiene implicaciones relativas a
a
las diversas interpretaciones de la derivada. Geom´tricamente garantiza la exise
tencia de una l´
ınea recta tangente que es paralela a la l´
ınearecta secante que
e
pasa por los puntos Ôa, f ÔaÕÕ y Ôb, f ÔbÕÕ. En t´rminos de ritmos de cambio, el
Teorema del Valor Medio implica que debe haber alg´n punto en Ôa, bÕ en el que
u
el ritmo de cambio es igual al ritmo de cambio en Öa, b×.

3.3. FORMAS INDETERMINADAS DE L´
IMITES.

3

Ejemplo:
Hallando una recta tangente.
Dada:
f ÔxÕ

5¡

4
x

Hallar todos los valores de c enel intervalo Ô1, 4Õ tales que:
f Ô4 Õ ¡ f Ô1 Õ
4¡1

f ½ Ôc Õ

Ejemplo:
C´lculo de un ritmo de cambio instant´neo.
a
a
Dos coches patrulla equipados con radar distan 5mi (8km) en una autopista. Un
cami´n pasa ante el primero de ellos con una velocidad de 55mi/h (88,5km/h)
o
y 4 minutos despues pasa frente al segundo a 50mi/h (80,5)km/h. Probar que
el cami´n ha sobrepasado el l´
oımite de velocidad igual a 55mi/h (88,5km/h) en
alg´n lugar entre esos dos controles.
u
Una forma alternativa util del Teorema del Valor Medio es la siguiente:
´
u
Si f es una funci´n continua en Öa, b× y derivable en Ôa, bÕ, existe alg´ n c en
o
Ôa, bÕ en el cual:
f ÔbÕ

3.3.

f ÔaÕ   Ôb ¡ aÕf ½ ÔcÕ

Formas indeterminadas de l´
ımites.

En ocasiones deben considerarse l´
ımitestales como:
x2   3x ¡ 4
1
x¡1

,

l´
ım

x

l´
ım

x

2x2 ¡ x
3x2   1

donde, en el primero de ellos el numerador y el denominador tienden a cero
cuando x
1; y en el segundo de ellos el numerador y el denominador tienden
a infinito cuando x
.
En general, los l´
ımites
f ÔxÕ
a g ÔxÕ

l´
ım

x

,

l´
ım

x

f ÔxÕ
g ÔxÕ

son formas indeterminadas, si cuando xf ÔxÕ

0 y

,

x

l´
ım

¡

,x

a, x
g ÔxÕ

0

g ÔxÕ

¡

o bien
f ÔxÕ

y

f ÔxÕ
g ÔxÕ

¡

CAP´
ITULO 3. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

4

Simb´licamente se denota una forma indeterminada por 0ß0 o por
o
Ejemplo:
sinÔxÕ
a) l´
ım
x 0
x
tiene la forma indeterminada 0ß0, ya que sinÔxÕ
1ßx
b) l´
ım
  ¡1ßx2
x 0
tiene la forma indeterminada
0 
x...