Aplicaciones De La Derivada

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Aplicaciones de
la Derivada
(An´lisis de Curvas)
a

1.

Introducci´n
o

La idea de funci´n, es una concepto que esta muy presente en la vida cotidiana, sobre todo
o
cuando nos referimos a la correspondencia que podemos hacer con diferentes objetos o conjuntos.
Por ejemplo:
1. A cada persona le corresponde una edad (en a˜ os).
n
2. A cada producto de un supermercado le correspondeun precio.
3. Cada persona en Chile tiene un numero identificatorio, llamado Rut.
4. A cada cuadrado de corresponde la medida de uno de sus lados.
5. etc.
Como podemos ver en estos ejemplos, se pueden distinguir dos conjuntos, uno de partida y
otro de llegada:
1. En 1. el conjunto de partida ser´ las personas y el de llegada seria el conjunto {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
ıan
2. En 2. elconjunto de partida seria los productos del supermercado y el de llegada seria el
conjunto de todas las cantidad positivas.
Notemos adem´s que en estos ejemplos a cada elemento del conjunto de partida se le asocia o
a
corresponde un unico elemento en el conjunto de llegada. Son estas ideas, las que nos llevan al
´
concepto matem´tico de una funci´n....
a
o
Definici´n 1 (Funci´n) Consideremosdos conjuntos X , Y cualquiera. Una relaci´n que hace
o
o
o
corresponder un elemento x del primer conjunto X con un unico elemento y del conjunto Y se
´
llama funci´n de y con respecto a x. Esta relaci´n com´nmente se denota por
o
o
u
y = f (x)
donde f denota nuestra funci´n.
o

Ejemplo 2 Supongamos que un grupo de amigos tiene las siguientes edades: Maria tiene 20 a˜ os,
n
Luistiene 15 a˜ os y Pedro tiene 17. Luego podemos definir la funci´n E que va desde el conjunto
n
o
X = {Maria, Luis, P edro} al conjunto Y = {15, 17, 20}, as´
ı
E (Maria) = 20
E (Luis) = 15
E (P edro) = 17
Ejercicio 3
1. Defina tres funciones distintas (puede ser cualquier tipo de funci´n).
o
2. Decida cual de las siguientes ejemplos son funciones:
a) Sea X =
En toda funci´n, podemosconsiderar dos conjuntos importantes: el dominio y recorrido de f .
o
Definici´n 4 Sea f una funci´n de X en Y . Definimos
o
o
1. El dominio de f como el conjunto de todos los elementos x de X , para los cuales existe
un elemento y en Y tal que y = f (x). A los elementos del dominio de f se les llama
preim´genes y este conjunto se denota por Dom(f ).
a
2. El recorrido de f como el conjunto detodos los elementos y de Y , para los cuales existe un
elemento x en X tal que y = f (x). A los elementos del recorrido de f se les llama im´genes
a
y este conjunto se denota por Rec(f ).
Ejemplo 5 Del ejemplo anterior, se tiene que Dom(f ) = {Maria, P edro, Luis} y Rec = {15, 17, 20}.
Observaci´n 6 La notaci´n y = f (x) encierra un concepto de dependencia que hay entre las
o
o
variablesx e y dada de la siguiente forma:

y = f (x )
Variable
Dependiente

Variable
Independiente

es decir, para obtener un valor y del conjunto de llegada, es necesario considerar un elemento
x del conjunto de partida.
Definici´n 7 Cuando consideramos X, Y , como un subconjunto de los numeros reales R diremos
o
que f es una funci´n real.
o

Notaci´n 8 Una funci´n que va desde X a Y ,puede ser denotada como
o
o
f: X → Y
x → f (x)
donde f (x) se denomina imagen y a x preimagen. Cuando hemos encontrado el Dom(f ) y el
Rec(f ), podemos denotar a f como
f : Dom(f ) → Rec(f )
x
→ f (x)

o

f : Dom(f ) → B
x
→ f (x)

donde Rec(f ) ⊆ B y el conjunto B se llama codominio.
Una funci´n puede ser representada, dibujada o graficada en el plano cartesiano R2 . Esta
orepresentaci´n es util para visualizar y otras veces entender el comportamiento de una determinada
o
´
funci´n.
o
Definici´n 9 Sea f una funci´n. Definimos su gr´fica como el conjunto
o
o
a
Graf (f ) = {(x, y ) ∈ R2 : y = f (x)}
= {(x, f (x)) : x ∈ Dom(f )}
Al marcar todos los puntos de este conjunto en el plano R2 , obtenemos una representaci´n geom´trio
e
ca de nuestra funci´n, esta...
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