Aplicaciones de la función lineal al Análisis en la Administración
Páginas: 18 (4258 palabras)
Publicado: 29 de agosto de 2013
Aplicaciones de la función lineal al Análisis en la Administración
En esta sección, estudiaremos algunas aplicaciones de las ecuaciones lineales y líneas rectas a problemas en la administración y economía.
Modelos de costo lineal
En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijoshay que enfrentarse sin importar la cantidad producida por el artículo; es decir, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas, interese sobre préstamos y salarios de administración.
Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costosvariables. El costo total está dado por:
Costo total = Costos variables + Costos fijos.
Consideremos el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante. En este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si m denota el costo variable por unidad, entonces los costos variables totales al producir x unidades de artículos son de mxdólares. Si los costos fijos son de b dólares, se desprende que el costo total yc (en dólares) de producir x unidades está dado por:
Costo total = Costos totales variables + Costos fijos.
yc = mx + b. (1)
La ecuación (1) es un ejemplo de un modelo de costo lineal. La gráfica de la ecuación (1) es una línea recta cuya pendiente representa el costo variable por unidad y cuya ordenada alorigen de los costos fijos.
Ejemplo 1: (modelo de costo lineal) El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50c y los costos fijos por día son de $300.
a. Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica.
b. Determine el costo de procesar 1000 kilos de grano de café en un día.
c. Si yc representa el costo (en dólares) de procesar x kilos de granos de café por día, sesigue que de acuerdo al modelo lineal, tenemos
yc = mx+ b.
en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo. En nuestro caso, m = 50c = $0.50 y b = $300. Por tanto
yc = 0.5x + 300. (2)
Con el objeto de dibujar la gráfica de la ecuación (2), primero encontramos dos puntos sobre ella.
Figura 1
Haciendo x = 0 en la ecuación (2), tenemos que y = 300; haciendo x= 200 la ecuación (2), tenemos que yc = 0.5(200) + 300 = 400. De modo que dos puntos que satisfacen la ecuación de costo (2) son (0, 300) y (200, 400). Graficando estos dos puntos y uniéndolos mediante una línea recta, obtenemos la gráfica que aparece en la figura 1. Nótese que la porción relevante de la gráfica está situada por completo en el primer cuadrante porque x y yc no pueden sercantidades negativas.
a. Sustituyendo x = 1000 en la ecuación (2), obtenemos
yc =0.5(1000) + 300 = 800.
En consecuencia, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café sería de $800.
Ejemplo 2 (modelo de costos) El costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día es de $300 mientras que cuesta $600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine larelación entre el costo total yc de producir máquinas de escribir al día y dibuje su gráfica.
Solución
Se nos ha dado los puntos (10, 350) y (20, 600) que están sobre la gráfica de un modelo de costo lineal. La pendiente de la línea que une estos dos puntos es
Usando la fórmula punto-pendiente, advertimos que la ecuación requerida de la línea recta (del modo de costo lineal) con pendientem = 25 y que pasa por el punto (10, 350) es
y – y1 = m (x – y1)
yc – 350 = 25 (x –10) = 25x –250;
es decir,
yc = 25x + 100.
La gráfica de la ecuación (3) en este caso no es una línea recta continua porque x no puede tomar valores fraccionarios al representar el número de máquinas de escribir producidas. La variable x sólo puede tomar valores enteros 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Los valores...
En esta sección, estudiaremos algunas aplicaciones de las ecuaciones lineales y líneas rectas a problemas en la administración y economía.
Modelos de costo lineal
En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijoshay que enfrentarse sin importar la cantidad producida por el artículo; es decir, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas, interese sobre préstamos y salarios de administración.
Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costosvariables. El costo total está dado por:
Costo total = Costos variables + Costos fijos.
Consideremos el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante. En este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si m denota el costo variable por unidad, entonces los costos variables totales al producir x unidades de artículos son de mxdólares. Si los costos fijos son de b dólares, se desprende que el costo total yc (en dólares) de producir x unidades está dado por:
Costo total = Costos totales variables + Costos fijos.
yc = mx + b. (1)
La ecuación (1) es un ejemplo de un modelo de costo lineal. La gráfica de la ecuación (1) es una línea recta cuya pendiente representa el costo variable por unidad y cuya ordenada alorigen de los costos fijos.
Ejemplo 1: (modelo de costo lineal) El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50c y los costos fijos por día son de $300.
a. Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica.
b. Determine el costo de procesar 1000 kilos de grano de café en un día.
c. Si yc representa el costo (en dólares) de procesar x kilos de granos de café por día, sesigue que de acuerdo al modelo lineal, tenemos
yc = mx+ b.
en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo. En nuestro caso, m = 50c = $0.50 y b = $300. Por tanto
yc = 0.5x + 300. (2)
Con el objeto de dibujar la gráfica de la ecuación (2), primero encontramos dos puntos sobre ella.
Figura 1
Haciendo x = 0 en la ecuación (2), tenemos que y = 300; haciendo x= 200 la ecuación (2), tenemos que yc = 0.5(200) + 300 = 400. De modo que dos puntos que satisfacen la ecuación de costo (2) son (0, 300) y (200, 400). Graficando estos dos puntos y uniéndolos mediante una línea recta, obtenemos la gráfica que aparece en la figura 1. Nótese que la porción relevante de la gráfica está situada por completo en el primer cuadrante porque x y yc no pueden sercantidades negativas.
a. Sustituyendo x = 1000 en la ecuación (2), obtenemos
yc =0.5(1000) + 300 = 800.
En consecuencia, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café sería de $800.
Ejemplo 2 (modelo de costos) El costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día es de $300 mientras que cuesta $600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine larelación entre el costo total yc de producir máquinas de escribir al día y dibuje su gráfica.
Solución
Se nos ha dado los puntos (10, 350) y (20, 600) que están sobre la gráfica de un modelo de costo lineal. La pendiente de la línea que une estos dos puntos es
Usando la fórmula punto-pendiente, advertimos que la ecuación requerida de la línea recta (del modo de costo lineal) con pendientem = 25 y que pasa por el punto (10, 350) es
y – y1 = m (x – y1)
yc – 350 = 25 (x –10) = 25x –250;
es decir,
yc = 25x + 100.
La gráfica de la ecuación (3) en este caso no es una línea recta continua porque x no puede tomar valores fraccionarios al representar el número de máquinas de escribir producidas. La variable x sólo puede tomar valores enteros 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Los valores...
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