Aplicaciones de la integral: areas y series

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Instituto Tecnológico de Mexicali

Carrera:
Ingeniería Mecatrónica

Materia:
Calculo Integra;

Tema:
“Aplicaciones de la Integral: Áreas & Series”


Profesora:
Miriam Rendon










Mexicali, Baja California, 06 de Junio de 2011

Introducción

A lo largo de todo este semestre se ha estado trabajando y viendo lo que son las Integrales, tanto definidas comoindefinidas, aplicando sus límites o simplemente colocándoles el +C al termino de integrar. Pero después de tantos ejercicios por realizar, tenemos que saber para qué podemos aplicar estas integrales en la vida real. Es por ello que mediante este trabajo de investigación, se pretende conocer las aplicaciones de la Integral; conociendo de manera detallada los temas de Áreas y Series, mediante los cualesse tiene como objetivo ver el cálculo de áreas, el cálculo de volúmenes, lo que son las series, radios de convergencia, entre otros temas relacionados.


Área entre una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva
[pic]
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:[pic]
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
2. La función es negativa
[pic]
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está pordebajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
[pic]

3. La función toma valores positivos y negativos
[pic]
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo laecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Área comprendida entre dos funciones
[pic][pic]
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
[pic]Longitud del arco

La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:
[pic]

Ejemplo

Hallar la longitud del arco de curva [pic]en el intervalo [0, 1].
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]





Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse
 
Si en un intervalo (a, b) dosfunciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥ g(x), entonces
 
[pic]
 
representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.
 
En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:
 
[pic]
  
Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:
 
• Se trazan las curvas.
 
• Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.
 
• Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
 
• Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintaszonas, entre los límites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.
Para calcular su área se procede así:
 
[pic]
 
Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de C.
 
[pic]
 
(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y...
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