Aplicaciones de la Integral Definida

Aplicaciones de la Integral Definida

Ramírez López Juan Martín

INTRODUCCIÓN
El cálculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o
antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza
principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos comoArquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de
Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la
derivación y la integración son procesos inversos.
Este trabajo pretende que nosotros (los estudiantes) aprendamos las aplicaciones
de las integrales para calcular áreas, volúmenes y longitud de arco,aplicando los métodos
de la integral definida, a partir de los conocimientos adquiridos con el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Universidad de Ciencias y Artes de Chiapas (UNICACH); en la
materia de calculo II.
En cada uno de los temas, se presentaran los métodos a realizar para resolver el
problema que se nos presente, aplicando las integrales definidas; también se presentan
algunosejemplos donde aplicaremos conocimientos previos, como son las derivadas,
integrales inmediatas e identidades trigonométricas; además de una breve introducción
en cada uno de ellos.

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1.-CÁLCULO DE ÁREAS
El tipo de región más simple con el que nos podemos encontrar es un rectángulo,
cuya área se define el producto desu base por su altura. A partir de esta definición
podemos obtener las fórmulas para el área de regiones más complicadas: triángulos,
paralelogramos, polígonos regulares, etc. El gran problema se plantea cuando se intenta
calcular el área de regiones más generales que las poligonales.
Los primeros matemáticos que intentaron resolver el problema de una forma seria
fueron los griegos, utilizandoel método de “exhaución”. Este método, atribuido a
Arquímedes, consiste en encajar la región entre dos polígonos, uno inscrito y otro
circunscrito, si la diferencia entre las áreas de los dos polígonos es pequeña, entonces
podemos aproximar el área de la región por cualquier número comprendido entre el área
del polígono inscrito y el área del polígono circunscrito.
1.1.- ÁREA BAJO UNA CURVA.Para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego
se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral
definida.
Se puede hacer de una manera abreviada. Considerando solo una partición
representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región
plana.
El área del elemento diferencialserá:
Por tanto, el área de la región plana es:

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1.2.- ÁREA ENTRE UNA FUNCIÓN Y EL EJE DE ABSCISAS.
1.2.1.- LA FUNCIÓN ES POSITIVA:
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la grafica de la
función está por encima del eje de las abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el áreaseguiremos
los siguientes pasos:
1.- Se calculan los puntos de corte con
el eje x, haciendo f(x)=0 y resolviendo
la ecuación.
2.- El área es igual a la integral definida
de la función que tiene como limites de
integración los puntos de corte.

1.2.2.- LA FUNCIÓN ES NEGATIVA:
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la grafica está por
debajo del eje de las abscisas. El áreade la función viene dada por:

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1.2.3.- ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES:
El área comprendida entre dos funciones es igual al área d e la función que
esta situada por encima menos el área de la función que esta situada por debajo.

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1.3.-...