Aplicaciones de la integral

APLICACIONES DE LA INTEGRAL.
Introducción.
La integral es un método rápido para calcular  áreas, volúmenes, longitudes, etc. En física, su empleo es constante al estudiar el  movimiento, el trabajo, la electricidad.   La mánifestaciones artísticas más antiguas del hombre han sido la alfarería y la  cerámica. En ambos casos, la herramienta fundamental es el torno. Esta máquina consiste en un eje vertical que sostiene un plato horizontal en el cual el ceramista o el  alfarero coloca la masa a la que ha de dar forma. Por medio del pie u otro medio  puede hacerlo girar. Geometricamente, un cuerpo de revolución se obtiene al hacer  girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de modo que  cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa.3.3 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN.
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Método del disco.
Si giramos una región del plano alrededor de un ejeobtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = πR2w
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica.
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es,la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:


Fórmula del volumen por discos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:


Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:


COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)
1. Dibujar la región y trazar sobreesta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.
2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.
3. Establecer los límites de integración.
4. Por último integrar para hallarel volumen deseado.
Método de la arandela.
Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:




Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también sonPERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar en la figura de abajo.





Definición: El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x (o algún eje paralelo a él) viene dado por:


Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a él) tiene una expresión análoga a la anterior. Luegopodemos ver que


es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con c≤y≤d.
Método de los casquillos cilíndricos.
Ahora vamos a exponer el último método, quizás el mas potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas). Antes detrabajar con este método, consideremos la siguiente figura:






Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas x =a y x =b, y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a...