Aplicaciones de la integrales definida

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Aplicaciones de la Integral Definida
Trabajo

El termino trabajo es usado cada día en nuestro lenguaje para representar el esfuerzo total que se necesita para realizar una tarea. En física tiene un significado técnico que depende de una idea intuitiva sobre la fuerza, puede pensarse que la fuerza como es descrita como un empuja y jala de un objeto—por ejemplo, un empuje horizontal de un libroa través de una mesa o el empuje hacia debajo de la gravedad de la tierra sobre una pelota. En general, si un objeto se mueve en línea recta con un función posición, entonces la fuerza F sobre un objeto ( en la misma dirección) esta definida por la segunda ley de newton del movimiento como el producto de la masa por la aceleración


Pero la formula que usamos normalmente es:
W=F.DDonde:
W=trabajo
F=fuerza
D=distancia

Vamos a suponer que un objeto se mueve por el eje X en dirección positiva desde X=a, hasta X=b y que en cada punto X entre a y b una fuerza F(x) actua sobre un objeto, donde F es una función continua, dividimos el intervalo [a,b] en N subintervalos que terminen en puntos x0, x1, . . . , xn al igual que ∆x, elegimos un punto X*, en el i subintervalo [Xi –1, Xi] entonces la fuerza de los puntos es F(xi*), si n es grande, entonces ∆x será pequeño y como F es continua los valores de F no cambian mucho sobre el intervalo.

Donde podemos aproximar el trabajo total como:

Y podemos representarlo como la suma de rieman desde un punto a hasta b.

Ejemplo:

Una fuerza de 40N se necesita para mantener un resorte estirado desde su longitud naturalde de 10cm a 15cm, cuanto trabajo se efectúa para estirarlo de 15cm a 18cm?

Según la ley de Hooke. La fuerza necesaria para estirar el resorte a x metros desde su longitud natural es de F(x) = kx, cuando el resorte se estira de 10 a 15 cm, el estiramiento es 5cm= 0.05m. esto quiere decir que f(0.05)= 40, así que
0.05k= 40 K=40/0.05=800

Por consiguiente, f(x) = 800x y el trabajoefectuado al estirar el resorte de 15 a 18 cm es

Valor promedio

Es fácil saber el valor promedio de una N cantidad de números como:

Pero como hacemos un promedio de temperaturas durante el día, si una cantidad infinita de temperatura leídas es posible?. En general, podemos intenta digitar el promedio de valores de la función Y= f(x), a ≤ x≤ b. empezamos por dividir el intervalo [a,b] en Nsubintervalos iguales, cada uno con la longitud ∆x= (b-a)/n entonces elegimos puntos Xi*…..Xn* en subintervalossucesivos y calculamos el promedio de los números Xi*…..Xn

Por ejemplo, si tomamos f representando una función temperatura y n=24, esto significa que tomamos las temperaturas leídas cada hora y hacemos un promedio de ellas. Como ∆x= (b-a)/n. podemos escribir n= ( b – a)/∆x y el promedio serepresentara como

Y si dejamos n incrementar, podríamos estar digitando un promedio de grandes números cerca de un valor espaciado. El valor del limite es

Por defininicion de una integral definida , el valor definido del promedio de f en un intervalo [a,b] como

Ejemplo: encuentra el promedio de la función f(x) = 1 + X2 en el intervalo [-1, 2].

Con a= -1 y b=2 tendremos

Área desuperficie de revolución

Una superficie de revolución es formada cuando una curva rota sobre una línea. Asi como la superficie es la atadura lateral de un solido de revolución de un tipo estudiado previamente. Queremos definir el área de una superficie de revolución una forma que corresponda a nuestra intuición. Si la superficie del área es A, podemos imaginar que pintando la superficie podríarequerir la misma cantidad de pintura que lo haríamos en una región plana con el área A.la superficie lateral de una superficie simple, en este caso de un cilindro circular, cuyo radio R y anchura H es tomada por A= 2∏rh porque podemos imaginar que cortando y desenrollando el cilindro obtenemos un rectángulo de dimensiones 2∏r y h, en este caso podríamos tomar el A como

Derivando esta formula...
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