aplicaciones de las derivadas

Extremos relativos

La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.


f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para lacual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.

Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten. Ejemplo

Sea
f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Aquíes su gráfica.

Mirando la gráfica, se observa que f tiene:
• Un máximo relativo a (0, 0);
• Un mínimo relativo a (1, - 1);
• Un máximo relativo a (4, 8).
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Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene unmínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.

Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención. Ejemplo

Sea otra vez
f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].

Mirando a sus extremos relativos, observamos que:
• El máximo a(0, 0) no es un máximo absoluto;
• El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
• El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.
Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?).
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Ubicando candidatos al extremos relativos
Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unospuntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos:
1. Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x.
2. Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no está definida. Para ubicar puntos singulares, determine valores x donde f'(x) no está definida, pero f(x) sí estádefinida.
3. Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, pero intervalos abiertos no los contienen.
La próxima figura demuestra instancias de todos tres tipos.

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Ejemplos
1. Vamos a mirar de nuevo la gráficade f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].

• El máximo relativo a (0, 0) es un
• El mínimo absoluto a (1, - 1) es un
• El máximo absoluto a (4, 8) es un .

Mas Ejemplos
Puntos estacionados: Sea f(x) = x3 - 12x.
Para ubicar los puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Obtenemos 3x2- 12 = 0, entonces x = ±2 son los puntos estacionados.
Puntossingulares: Sea f(x) = 3(x- 1)1/3.
Entonces f'(x) = (x- 1)- 2/3 = 1/(x- 1)2/3.
f'(x) no está definida a x = 1, auque f(x) sí está definida a x = 1. Entonces, el (solo) punto singular es x = 1.
Puntos Extremos: Sea f(x) = 1/x, con dominio (- ∞, 0) [1, +∞).
Entonces el único punto extremo in el dominio de f es x = 1. Por otro lado, el dominio natural de 1/x no tiene puntos extremos.
Nota Sicambiaríamos el dominio a [0, +∞), no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?).
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