Aplicaciones de las derivadas

Páginas: 7 (1686 palabras) Publicado: 31 de enero de 2015
CLASE 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión

7. Criterio de la primera derivada para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, extremos relativos (máximos y mínimos relativos)
Antes de hablar sobre el criterio de la primera derivada, recordemos lo siguiente:
Función creciente: una función f definidaen (a,b) es creciente en dicho intervalo si f(x1)x1

Función decreciente: una función f definida en (a,b) es decreciente en dicho intervalo si f(x1)>f(x2) siempre que x2>x1

Función constante: una función f definida en (a,b) es constante en dicho intervalo si f(x1)=f(x2) siempre que x2>x1

7.1 Criterio de la primera derivada (Para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento)
Seaf una función continua y diferenciable sobre (a,b), entonces se cumple que:
1.- Si (+) para todo , entonces f es creciente en
2.- Si (-) para todo , entonces f es decreciente en
7.2 Criterio de la primera derivada (Para determinar mínimos y máximos relativos)
1.- Si cambia de signo (+) a (-) alrededor del valor critico x0, entonces x0 es un MAXIMO RELATIVO de f.
2.- Si cambia de signo(-) a (+) alrededor del valor critico x0, entonces x0 es un MÍNIMO RELATIVO de f.
3.-Si no cambia de signo alrededor de x0, entonces dicho valor critico no es ni mínimo ni máximo relativo.
8. Criterio de la segunda derivada para hallar intervalos de concavidad, extremos relativos (máximos y mínimos relativos) y puntos de inflexión
8.1 Intervalos de Concavidad
Si f es una función cuya existeen el intervalo se cumple:
1.-Si (+) para todo, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba.
2.-Si (-) para todo, entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo.
3.- Si el teorema no es concluyente.
8.2 Punto de inflexión: es aquel en el cual la concavidad de la grafica de la función cambia de estar cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o viceversa.
Para que un punto deinflexión exista se deben cumplir las siguientes condiciones:
1) 
2) tiene que cambiar de signo alrededor de x0
3) x0 (posible punto de inflexión) tiene que pertenecer al dominio de f.
Si se cumplen las tres condiciones, x0 es un punto de inflexión de la grafica de f.
8.3 Mínimos y máximos relativos: Empleando la segunda derivada se puede saber cuando un punto crítico es un mínimo o un máximorelativo, del modo siguiente:
a) Si (+) la grafica es (cóncava hacia arriba) y x0 es un mínimo relativo.

b) Si (-) la grafica es (cóncava hacia abajo) y x0 es un máximo relativo.

CLASE 5
Estudio de la grafica de una función
9. Estudio completo de la grafica de una función
Para graficar funciones se sugiere seguir el siguiente procedimiento:
1.- Se determina el dominio de lafunción
2.- Se calculan los puntos de corte con los ejes de coordenadas, esto es:
Para hallar el punto de corte con el eje “x” se sustituye a y=0
Para hallar el punto de corte con el eje “y” se sustituye a x=0
3.- Se determinan las simetrías
Simetría con respecto al eje “y”: para encontrarla se sustituye x por (–x) en la función, si la función resultante esequivalente a la función original entonces f es simétrica con respecto a “y”.
Simetría con respecto al origen: para encontrarla se cambia x por (–x) y a y por (–y) la ecuación resultante tiene que ser equivalente, para que f sea simétrica con respecto a origen.
Otra forma de hallar la simetría, es sustituir x por (-x), si la función es par, f es simétrica con respecto al eje “y”,si la función es impar, f es simétrica con respecto al origen y si la función no es ni par ni impar, la función no posee ningún tipo de simetría.
Recuerde que la grafica de una función es simétrica con respecto al eje “y” o con respecto al origen, o no posee simetría, dado que no existe función alguna que posea ambas simetrías.
4.- Si la función es de la forma se determinan las asíntotas:...
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