Aplicaciones De Las Ecuaciones Diferenciales

Chapter 6 Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
6.1 Introducci´n o

En ingenier´ ciencias f´ ıa, ısicas y sociales, hay muchos problemas que, al formularlos en t´rminos matem´ticos, requieren la determinaci´n de una funci´n, la cual debe satisfacer e a o o una ecuaci´n que contiene derivadas de la funci´n desconocida. Estas ecuaciones reciben o o el nombre de ecuacionesdiferenciales. Definici´n 6.1 (Ecuaci´n diferencial) Una ecuaci´n se llama ecuaci´n diferencial si o o o o contiene derivadas o diferenciales de una o m´s variables dependientes de una o m´s a a variables independientes. Uno de los ejemplos m´s conocidos es la ley de Newton a F = ma con a = d2 x dt2 ⇒ m d2 x = F o m x· = F ˙ dt2

d2 x Si la fuerza se debe a la gravedad m 2 = −mg dt Para desarrollar la teor´de ecuaciones diferenciales, es util clasificar los diferentes ıa ´ tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones m´s obvias se basa en si la funci´n dea o sconocida depende de una o varias variables independientes. Llegamos as´ a la siguiente ı o o Definici´n 6.2 (Ecuaci´n diferencial ordinaria) Llamamos ecuaci´n diferencial oro dinaria (E.D.O.) a aquellas ecuaciones diferenciales en las quefiguran derivadas de diferentes ´rdenes de la funci´n desconocida y(x) , que depende s´lo de una variable indepeno o o diente. 1

2 CHAPTER 6. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Definici´n 6.3 (Ecuaci´n diferencial en derivadas parciales) Llamamos ecuaci´n o o o diferencial en derivadas parciales (E.D.P.) a aquellas ecuaciones diferenciales en las que aparecen derivadas parciales dediferentes ´rdenes de la funci´n desconocida , respecto de o o sus variable independientes (dos o m´s). a Ejemplos
  y − 5y = 1         (x + y)dx − 4ydy = 0    

De E.D.O.  dv  du   − =x   dx dx  
    

y − 2y + 6y = 0

De E.D.P.  

 ∂x  ∂u   =−   ∂x  ∂x      2   ∂ 2 u(x, y)  ∂ u(x, y)   + =0    ∂x2 ∂y 2 

ecuaci´n del potencial oecuaci´n de onda o ∂x2 ∂y 2 Otra de las clasificaciones se basa en el orden. Definici´n 6.4 (Orden de una ecuaci´n diferencial) Se llama orden de una ecuaci´n o o o diferencial al de la derivada (ordinaria o parcial) de mayor orden que figura en dicha ecuaci´n o As´, diremos que las ecuaciones diferenciales son de primer orden, de segundo orden, ı de tercer orden, ... y en general, de orden n. Una ecuaci´ndiferencial de orden n se escribir´ como o a F (x, y, y , · · · , y (n) ) = 0 o F (x, y, dy dn y ,···, n) = 0 dx dx

∂u(x, y)  2 ∂ 2 u(x, y)   α =   2  ∂x ∂y          2 ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y)   =  a

ecuaci´n de difusi´n del calor o o

Otra clasificaci´n se basa en la linealidad: o Definici´n 6.5 (Ecuaci´n diferencial lineal) Una ecuaci´n diferencial es lineal cuando o o oes lineal en y(x) y en sus derivadas, es decir, los t´rminos que contienen la funci´n e o (n) inc´gnita y sus derivadas y , y , ..., y aparecen como combinaci´n lineal de y, y , y , ..., y (n) . o o

´ 6.1. INTRODUCCION La forma general de la E.D. lineal de orden n es y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y + an (x)y = h(x) Ejemplos xdx + ydy = 0 y − 2y + y = 0 y 3 y − 2y = x d3 y + y2 = 0 3dx E.D. no Lineal de orden 1 E.D.L. de orden 2 E.D. no Lineal de orden 2 E.D. no Lineal de orden 3

3

Definici´n 6.6 (Soluciones de una ecuaci´n diferencial) Resolver una ecuaci´n o o o diferencial consiste en obtener al menos una funci´n u(x) que la satisfaga. Como se o parte de una ecuaci´n que contiene derivadas de y(x) y se trata de llegar a una funci´n o o u(x) de car´cter finito,emplearemos la palabra integrar en vez de resolver. a A toda funci´n u(x) que satisfaga una E.D. F (x, y, y , · · · , y (n) ) = 0 se le llama o soluci´n particular o curva integral de dicha ecuaci´n, y puede venir dada tambi´n en o o e forma impl´cita U(x,y) = 0. ı El conjunto de las soluciones particulares de una E.D. viene expresado por la ecuaci´n o de una familia de curvas n-param´tricas (lo...