Aplicaciones de las integrales dobles

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Aplicaciones de las integrales dobles:
Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.
1. El área de una regiónplana R en el plano xy viene dada por una integral doble.
Área(R) = ZZR
dxdy
2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x; y)(> 0) y una región R en el
Plano xy es
V = ZZR
f(x;y)dxdy
3. Sea f(x; y) la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es M = ZZR
F(x; y) dxdy
4. El centro degravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y
Donde:
x =1 M ZZR
Xf(x; y) dxdy; y =1
M ZZR
Yf(x; y) dxdy
5. Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a losejes x e y
Respectivamente son:
Ix = ZZR
y2f(x; y) dxdy; Iy = ZZR
x2f(x; y) dxdy

Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la láminaocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ es una función continua en D. Esto significa que
|donde y son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene a (x,y), y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. Para hallara la masa total m de la lámina,dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub-rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ(x,y) es 0 fuera de D. Si escogemos un punto (x*,y*) de Rij, entonces la masa de la parte de la láminaque ocupa Rij es aproximadamente ρ(x*,y* , donde es el área de R(x*,y*. Si sumamos todas estas masas, obtenemos una aproximación a la masa total:
|
Si ahora aumentamos el número desub-rectángulos, obtenemos la masa total m de la lámina como el límite del valor de las aproximaciones:
|
Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se pueden tratar en la misma manera. Por...
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