Aplicaciones de las integrales

Aplicaciones de las integrales
La integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. Enfísica, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

ÁREA ENTRE CURVAS
En particular, para cualquier función f (x) ≥ 0 y continua en [a, b], queríamos hallar el áreabajo la curva y = f (x) en el intervalo [a, b]. Empezábamos haciendo una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchura,Los puntos de la partición se denotan por , y asísucesivamente. Es decir:



En cada subintervalo [xi–1, xi] construimos un rectángulo de altura f (ci) para algún ci [xi–1, xi], como indica la figura 5.5. La suma de las áreas de esos n rectángulos setomaba como aproximación del área A bajo la curva:


Al tomar más y más rectángulos, las sumas de sus áreas se iban acercando al valor exacto del área bajo la curva y ese límite daba lo que se ha llamadointegral definida:



En esta sección extenderemos esta noción. Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f (x) ≥ g(x) para todo x en [a, b]. Deseamos hallar el área entre las curvas y = f(x) e y = g(x) en el intervalo [a, b] (figura 5.2). Puesto que no sabemos aún cómo calcularla exactamente, vamos a aproximarla usando rectángulos.
Como antes, partimos el intervalo [a, b] en nsubintervalos de igual anchura, , tomando como puntos de la particición


Ahora sobre cada subintervalo [xi–1, xi] construimos un rectángulo desde la curva inferior y = g(x) hasta la curva superior y = f(x) (figura 5.3a). La figura 5.3b indica que el i-ésimo rectángulo tiene altura
hi = f (ci) – g(ci), para ciertos ci Z [xi–1, xi].
Así, pues, el área del i-ésimo rectángulo es









Tomamos lasuma de las áreas de los rectángulos como aproximación del valor exacto del área A entre las dos gráficas:


Finalmente, si existe el límite para n → ∞, dará el área exacta, lo que identificamos como...