Aplicaciones de Razones de Cambio Relacionadas

INTRODUCCION A LAS RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, implícitamente, de una función y = f (t). Así, por ejemplo,

(yn) = n yn-1 .
Otra aplicación importante de lo anterior es el cálculo de razones de cambio de dos o más variables que cambian con el tiempo; o sea, ¿qué tan rápido varia una cantidad en el tiempo?

El procedimiento para estoes deducir una ecuación que relacione las cantidades y después derivar aplicando la regla de la cadena y por ultimo despejar para encontrar la incógnita.
OBJETIVOS
Objetivo General:
Introducir a los estudiantes universitarios al entendimiento de lo que son Las Razones de Cambio Relacionadas; así mismo como su aplicación a situaciones Practicas, o Hipotéticas.
Objetivos Especificos:
Que losestudiantes comprendan el concepto de Razones de Cambio Relacionadas.
Que los estudiantes sepan hacer un análisis correcto de las variables involucradas.
Que los estudiantes identifiquen sino todos, por lo menos la mayor parte de los campos de acción de este tema
Justificacion
Desde la antigüedad, el hombre ha tenido la necesidad de entender los cambios percibidos en su entorno para utilizarlosen su favor y trasformar el medio ambiente.
El mundo actual está en permanente cambio, generando en el hombre la necesidad de determinar las variaciones ocurridas ya sea desde una descripción de las circunstancias o a partir de la medición de las mismas.\Las condiciones socio-económicas y políticas de países o regiones guardan diversas relaciones entre sí, ya sea de similitud, subordinacióndominación o antagonismo, las cuales pueden favorecer ambientes de cooperación, competencia o incluso conflicto, determinando con ello las dinámicas de cambio propias del mundo contemporáneo Esta situación conduce a que el cambio se conciba de diferentes forma, es decir desde lo descriptivo o cualitativo y lo numérico o cuantitativo.
Esta situación conduce a que el cambio se conciba de diferentesforma, es decir desde lo descriptivo o cualitativo y lo numérico o cuantitativo.
Problemas de Razones Relacionadas
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de razones relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula la rapidez con que cambia una cantidad en términos de la razón de cambio de otra(s) cantidad(es).
Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas

De serposible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada.
Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo.
Analizar el enunciado del problema y distinguir cuales razones de cambio se conocen y cual es la razón de cambio que se requiere
Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han dedeterminarse.
Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo t, con el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas
Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerida

(Nota: Es hasta eneste momento, que se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos del problema)

Ejemplo #1

Dos autos parten del mismo punto, el primero se dirige al oeste a 25 y el segundo al sur a 60 MPH. Con que velocidad aumenta la distancia entre ellos despues de 2 horas.
entonces tenemos que:



Donde dx/dt y dy/dt es la velocidad de los autos, el cambio de x o y en el tiempo.
Paraencontrar los valores de x y, multiplicamos por las 2 horas que han viajado.



Para encontrar la distancia que hay entre los 2 autos podemos hacerlo con el teorema de Pitágoras tendríamos que:


entonces debemos encontrar el cambio de z respecto al tiempo.


Entonces basandonos en:

si derivamos respecto del tiempo temos que

despejando dz/dt.

Sustituyendo.


Ejemplo #2...