Aplicaciones del algebra lineal

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ÁLGEBRA LINEAL EN EL CONTEXTO DE INGENIERÍA CIVIL
Resumen
Los cursos y textos de Álgebra Lineal son muy abstractos y ofrecen, en el mejor de los casos, problemas de aplicación muy artificiales, ajenos al área de conocimiento en la que se van a aplicar; sostenemos que enfocando el curso de Álgebra Lineal en el contexto en el cual se va a utilizar contribuiríamos a que el alumno se motive y ala vez se vaya introduciendo a las materias específicas de ingeniería, como el Análisis de Estructuras por ejemplo, materia de ingeniería civil donde existe un uso abundante de sistemas de ecuaciones y matrices.
En esta ponencia presentamos un problema de aplicación de los sistemas de ecuaciones y matrices el cual consiste en un sistema estructural compuesto por 4 barras coplanares que cuelgan deun techo horizontal unidas a éste mediante articulaciones; además están unidas entre sí mediante otra articulación (ver figura 1). Se trata de encontrar las fuerzas axiales en las 4 barras cuando sometemos al sistema estructural a dos cargas: una carga horizontal P1 y otra vertical P2, ambas aplicadas en la unión común de las barras. Aplicando las condiciones de equilibrio de la unión común sellega a A{N} ={P}, donde A es una matriz de 2×4 con los cosenos directores de las barras, {N} una matriz columna 4×1 con fuerzas axiales de las barras y {P} el vector columna 2×1 de cargas aplicadas. Las relaciones de compatibilidad geométrica conducen a At{δ}={Δ}, donde At es la transpuesta de A, {Δ} matriz columna de las deformaciones en las barras y {δ} el vector columna de las componentesrectangulares del desplazamiento de la unión común. Por último, las relaciones entre fuerzas axiales y deformaciones de las barras (ley de Hooke), nos conducen a {N}=[k]{Δ} donde [k] es una matriz diagonal de 4×4 con kii= ki, la constante elástica de la barra i. Combinando adecuadamente estas tres ecuaciones obtenemos la matriz {N}.

Nuestra preocupación es la enseñanza del Álgebra Lineal en elcontexto en la ingeniería civil. Es común que el maestro de las materias específicas de ingeniería no incluya en sus cursos los principios que subyacen a los algoritmos y reglas prácticas empleados en la solución de problemas; aunado a esto el maestro de las materias básicas las presenta en forma abstracta carente de significado.

El problema de Navier que presentamos en este trabajo se aborda en loscursos de Mecánica de Materiales ofreciendo una magnífica oportunidad de aplicar Álgebra Lineal permitiéndonos ilustrar ideas importantes de sistemas de ecuaciones y matrices. Este problema se refiere a un sistema estructural compuesto por 4 barras (puede ser cualquier número de barras) colgadas de un techo y unidas a una articulación común, en donde se aplican dos cargas y ; se pide determinarlas fuerzas en las barras. 1P2P
Las fuerzas internas N1,..,N4 de las barras pueden expresarse en función de las cargas P1 y P2 mediante el equilibrio del punto O. En la figura 2 se muestran las fuerzas que actúan en este punto; los signos negativos se deben a que las fuerzas en las barras, las cuales estamos suponiendo positivas a compresión, en el nudo aparecen de sentidos opuestos (tercera ley deNewton). Utilizando las condiciones de equilibrio
(1)
;
(-N)cosα1+(-N)cosα2+(-N)cosα3+(-N)cosα4+P1= 0
(-N)cosβ1+(-N)cosβ2+(-N)cosβ3+(-N)cosβ4+P2= 0
Ó en forma matricial

Donde cosαi,cosβi son los cosenos directores del segmento dirigido que une O con el otro extremo de la barra1 i (i=1,…,4); lo que hace que las fuerzas de compresión sean positivas y las de tensión negativas2.
Observemosque el sistema de ecuaciones dado por (1) es compatible e indeterminado (se dice que el sistema estructural es estáticamente indeterminado o hiperestático). Para convertir el sistema de ecuaciones en compatible determinado obtendremos ecuaciones a partir del análisis de la deformación del sistema estructural.
1Recordemos que los cosenos directores de un vector (o un segmento dirigido) son los...
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