Aplicaciones del calculo vectorial al la mecánica

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CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 1

1) Sea la superficie de ecuación z = x 2 y 2  x 2  y 2 , obtener los puntos críticos de la
función z = f  x, y  y su naturaleza.
SOLUCION

P  0, 0  máximo relativo, P2  1, 1 punto silla, P3  1,  1 punto silla, P4   1, 1 punto 1

silla, P5   1,  1 punto silla.

2) Sea z = 2x3  3x 2 y  y 2  3 x 2  y  1 , obtener los puntoscríticos de la función
z = f  x, y  y la naturaleza de los mismos.
SOLUCION

 1  1 2 P  0,  mínimo relativo, P2   ,  punto silla, P3  1, 2  punto silla. 1  2  3 3

3) Determinar los puntos máximos y mínimos relativos, así como los puntos silla de la
función f ( x, y )= x 3 + y 3  3x 2  3 y 2  8 .
SOLUCION

P  0, 0  punto silla, P2  0, 2  mínimo relativo, P3   2, 0 máximo relativo, P4   2, 2 1



punto silla.

4) Determinar los valores extremos de la función z = x 2 + y 2 - x 3 + y 3 .
SOLUCION

2   2 Un mínimo relativo en P  0, 0  de valor , un máximo relativo en P4  ,   de valor 1 3   3 8 z . 27

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 2

5) Determinar los puntos donde la función f  x, y   cos hx  sen hy tiene valores
máximos,mínimos o puntos silla.
SOLUCION

La función no tiene puntos críticos.

6) Obtener los puntos críticos de la función z  y 3 + x 2 y  2x 2  2 y 2  6 y determinar la
naturaleza de cada uno de los puntos obtenidos.
SOLUCION

1 3

P  0, 0  máximo relativo, P2  0, 4  mínimo relativo, P3  2, 2  punto silla, P4   2, 2 1



punto silla.

7) Calcular los valores extremos de lafunción f  x, y   x 2 + y 2 + 2x - 2y - 1 en la región
x2  y 2  4 .
SOLUCION

Los valores extremos son: f  -1,1  3 mínimo y

f



2 ,- 2  8.65 máximo.



8) La ecuación cartesiana de la superficie S es x 2  y 2  z  1  0 . Determinar el punto S
más próximo al origen. Hacer uso del método de la segunda derivada para el análisis de valores extremos.
SOLUCION

El punto  0,0, 1 es el mas cercano (distancia mínima) al origen.

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 3

9) Dada la función z = 2x 3  xy 2  5 x 2  y 2 , determinar sus puntos críticos y la naturaleza
de cada uno de ellos.
SOLUCION

P  0, 0  1 P4 

 5  mínimo relativo, P2   , 0  máximo relativo, P3   1, 2  punto silla,  3   1,  2  punto silla.

10) Determinar, si existen losvalores extremos para la función z = (x - 1)2 - 2y 2 .
SOLUCION

La función no tiene valores extremos.

11) Calcular los puntos críticos de la función f (x, y,z)= 4x 3 + 2x 2 y +6xz + 3z 2 - 2y + x 2 y
establecer su naturaleza.
SOLUCION

P 1, 2, 1 punto silla, P2   1, 4, 1  punto silla. 1

12) Calcular los puntos críticos de la función f (x, y,z)= 3xz 2 + zy 3 - 3x +12y - 2z + 2 yestablecer su naturaleza.
SOLUCION

 5  P 1, 2, 1 punto silla, P2   ,  2,  1  punto silla. 1  3 

13) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)= x 2 + 4xy - 10x - 3y 2 + 4y + z 2 .
SOLUCION

P  1, 2, 0  mínimo relativo.

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
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14) Calcular los puntos críticos de la función f (x, y,z)= x 2 + 2xy +
y establecer la naturaleza decada uno de ellos.
SOLUCION

z3 + 2zy + 2x + 2z - 10 3

P  0, 1, 0  punto silla, P2  2,  3,  2  punto silla. 1

15)

Determinar los puntos críticos de la función 2 2 2 f (x, y,z)= -2x - 3y - z + xy + yz + x+ y + z +10 y establecer la naturaleza de cada uno de ellos.
SOLUCION

1 1 2  , ,  máximo relativo. 3 3 3

16) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)=determinar la naturaleza de los mismos.
SOLUCION

x3 - x+12 - y 2 + 2y - z 2 + 2z y 3

P  1, 1, 1  punto silla, P2   1, 1, 1  máximo relativo. 1

17) Verificar que el campo escalar u = x 4 + y 4 + z 4  4 xyz , tiene un punto crítico en
y determinar la naturaleza de este punto a través del análisis de los valores característicos de la matriz Hessiana.
SOLUCION

1,1,1

En el...
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